Si A, B, G sont trois nombres quelconques, on a

(B + C)XA = BX A + CXA.

Supposons, en effet, en conservant toujours le même mode de notation,

on aura, diaprés les définitions, puisque les nombres a, 6, c, a', 6', & sont rationnels

6 + c<B + C<6' + c', 6a < BA < b'a'j ca<CA<c'a',

puis, toujours en vertu des définitions,

(6 + c)Xa<{B + C)XA<(6' + cOXa', 6a+ ca < BA + CA < 6'a' + c'a' ;

d^ailleurs, les nombres a, 5, c, a', &', c' étant rationnels, on a

6a + ca = (6 + c)a , 6'a' + c'a' = (6' + c')a' ;

donc, pour prouver Tégalité des nombres (B + C)A et BA +CA, il suffît (n* 4i5) de prouver que Ton peut cboisir les nombres a, 6, c, a', 6', c'de façon que la différence

soit plus petite que tel nombre rationnel que Ton voudra. Le raisonnement est le même qu'au n" 430, puisque Ton peut supposer la différence entre les deux nombres a' et a, d'une part, entre les deux nombres 6' + C et 6 + c, de Tautre, aussi petite que Ton voudra. Cette proposition entraîne la suivante : si Ton a B ^ G, on a