BX C

Rangeons en effet dans une première catégorie tout nombre rationnel c dont rinverse est plus grand que B; dans une seconde catégorie, tout nombre rationnel c' dont Tinverse est plus petit que B ; puisque Ton a

on aura c < c' ; ainsi tout nombre de la première catégorie est plus petit que tout nombre de la seconde ; d'ailleurs chaque nombre rationnel appartient à Tune ou Tautre des deux catégories; enfin, dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre plus grand que les autres nombres de la même catégorie, car si c est un nombre de cette catégorie, il y aura

certainement un nombre rationnel compris entre B et ~; désignons son

inverse par C| ; on aura

par conséquent c < Cj. De même, dans la seconde catégorie, il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres. Ce mode de partage de tous les nombres rationnels en deux catégories définit donc un nombre irrationnel C. Il est maintenant bien facile de voir que le produit de ce nombre par B est égal à un.

Si, en effet, on désigne par 6, c des nombres rationnels plus petits respec-

livement que B et que G, c sera Tinverse d'un nombre rationnel b' plus grand que B et pai* suite que b ; on aura donc

on voit de même que le produit de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que B et que G est plus grand que un.

Ge nombre G ainsi défini, tel que Ton ait BXG = GXB = 1, s'appelle

fin verse de B et se représente par ^ •

435. Geci posé, soit à diviser par B le nombre A. Que B soit rationnel ou

non, il existe un nombre r^ tel que, en le multipliant par B, le produit soit

un. Le nombre obtenu en multipliant A par ^ sem leh (^ue, en le multipliant par B, on trouve A pour quotient. En effet, pour multiplier un produit par un nombre, il suffit de multiplier par ce nombre un des facteurs du produit. On a donc :

(Ax|)xB=Ax(ixB) =

Le produit de A par ^ se représente par j: •

436. Loi*squ'on s'est occupé des fractions généralisées (Gh. VI, § 4), on a donné des démonstrations de leurs propriétés qui reposaient uniquement sur ce que le numérateur (ou dividende) de la fraction était égal au produit de la valeur de la fraction par son dénominateur (ou diviseur] : ces démonstrations s'étendent donc d'elles-mêmes au cas ott les termes de la fraction généralisée sont des' nombres irrationnels. Ainsi on peut multiplier par

un même nombre les deux termes d'une fraction ^ dont le numérateur et

le dénominateur sont des nombres rationnels ou irrationnels, etc. Les règles pour les opérations s'appliquent dans tous les cas.

437. Les propositions concernant les calculs approchés, tant pour la multiplication que pour la division, s'appliquent aussi, sans modification, lors même que les nombres auxquels on a affaire sont irrationnels.

Exemple, — Gonsidérons le produit de v3 par v 2 ; on observera que si l'on prend les valeurs approchées 1,73 (par excès) et 1,41 par défaut, les

erreurs correspondantes sont moindres que -rr^rz et que 7^777: ; chacun des

nombres v2, v3 étant moindre que 2, l'erreur commise sur le produit sera

moindre que ^^^ ^'^Tôô' ^^ ^ d'ailleurs i,'73 X 1,41 =2,4393 et ce

nombre est approché du produit v2 X v3 avec une erreur moindre que Tannbry. 26

0,01 ; on en conclut que 2,4 est la valeur approchée du produit à 0,1 près, par défaut.

438. Supposons qu'on ait la représentation décimale d'un nombre irrationnel A; il sera aisé d'en déduire les représentations décimales des nombres A X 10, A X 100, A X <000, ... .

On a par exemple

le nombre v'2 est compris entre 1,4142135623 et 1,4142135624; donc V^X 1000 est compris entre 1414,2135623 et 1414,2135624; sa valeur approchée à j^Tg- près, par défaut, est donc 1414,213562; c'est-à-dire que si l'on

considère le symbole

obtenu en avançant de trois rangs la virgule vers la droite dans le symbole qui représente v2, on en déduira en conservant les six. premiers

chiffres décimaux la valeur approchée de v^2 à -j^rr près, par défaut. Il est

clair que le raisonnement est général : il suffirait d'avoir pris un, deux,

trois, ... chiffres décimaux de plus dans la représentation décimale de v2

pour prouver que les valeurs approchées de v2 X 1000, à —, -rr^^ -r^, ...

près, s'obtiennent de la même façon. Donc :

Lorsqu'on a la représenlation décimale d'un nombre irrationnel A, pour en déduire les représentations décimales des nombresAXlO, A X 100, A X 1000, ..., il suffirad'avancerla virgule vers la droite de un, deux, trois... rangs.

Inversement il est clair que si l'on a la représentation décimale d'an nombre irrationnel, on obtiendra la représentation décimale du quotient obtenu en divisant ce nombre irrationnel par 10, 100, 1000, en reculant la virgule vers la gauche de un, deux, trois... rangs.

439. Racine n^^^^, — En désignant par n un nombre entier, plus grand que un, on appelle racine n*^™<^ (exacte) d'un nombre A et l'on représente par le

symbole Va un nombre qui, élevé à la puissance n, reproduit A. Ce nombre, s'il existe, est unique, car la puissance n**™« d'un nombre plus grand dépasserait A, puisque la valeur d'un produit augmente quand ses facteurs augmentent : de même la puissance n'^™<^ d'un nombre plus petit serait moindre que A.

Disons, en passant, que dans le symbole Va, en supposant que ce symbole ait un sens, n s'appelle Yindice de la racine : l'indice ne s'écrit

habituellement pas quand il est égal à 2 : on écrit y A au lieu de \/a. Si A est rationnel, sa racine n''''"« peut être rationnelle; on dit alors

que A est une puissance n^^™<^ ; si A est irrationnel, il est clair que sa racine fiiènc ne peut être un nombre rationnel, puisque la puissance n**"»« de tout noriibre rationnel est un nombre rationnel.

Si A est rationnel sans être une puissance nl^"*^ exacte, on a défini plus haut la racine n^^"^^ de A approchée par défaut ou par excès à « près, et

en particulier à — près ; on a établi qu'il existait des nombres ration-

nels plus petits et plus grands que A et dont la n}^^^ puissance différait de A d*une quantité moindre que tel nombre rationnel « que Ton veut fixer à Ta van ce.

440. Il suit de là que, entre deux nombres rationnels quelconques a, 6, il y a des nombres rationnels qui sont des puissances n*^™<^* exactes : il suffît pour obtenir de tels nombres de choisir un nombre rationnel quelconque c intermédiaire à a et 6 et de chercher ensuite un nombre rationnel dont la iiième puissance diffère de c d'une quantité moindre que la plus petite des quantités c — a, 6 — c. Par conséquent aussi, étant donné un nombre irrationnel quelconque A, on peut trouver des nombres rationnels dont les puissances n'*™" soient inférieures ou supérieures à A et qui diffèrent aussi peu qu'on le voudra de A. Si Ton veut, par exemple, trouver un nombre dont la puissance n^^^ soit inférieure à A et diffère de A d'une quantité moindre qu'un nombre t donné à l'avance, il suffira de choisir deux nombres rationnels a, a^ inférieurs à A, tels que la différence entre A et le plus petit soit moindre que t, puis de déterminer un nombre rationnel dont la puissance n^*™« soit comprise entre a et Oj.

441. Ceci posé, soit A un nombre irrationnel ou un nombre rationnel qui ne soit pas une puissance n'*"™<^ exacte. Rangeons dans une première catégorie tous les nombres rationnels dont la puissance n'*"« est moindre que A, dans une deuxième catégorie tous les nombres rationnels dont la puissance nièmc est plus grande que A. Chaque nombre rationnel appartiendra à Tun»» ou à l'autre des catégories ; les nombres de la première catégorie sont tous plus petits que les nombres de la deuxième catégorie. Enfin, dans la première catégorie il n'y a pas de nombre plus grand que fous les autres: soit en effet b un nombre de cette catégorie, il existe certainement un nombre rationnel 6| dont la puissance n'*™*^ est inférieure à A et tel que l'on ait A — 6" < A — 6" ; or cette inégalité implique b^ > 6" et par suite 6^ > 6. On démontre de même que dans la seconde catégorie il n'existe pas de nombre inférieur à tous les autres.

Le mode de séparation des nombres rationnels en deux catégories définit donc un yombre irrationnel B et il est aisé de voir que Ton a

En effet, si nous considérons n nombres pris dans la première catégorie, leur produit sera certainement inférieur à la n*^™« puissance du plus grand d'entre eux, et par suite à A; on voit de même que le produit de n

nombres pris dans la seconde catégorie est supérieur à A. A étant supérieur au produit de n nombres rationnels quelconques plus petits que B, inférieur au produit de n nombres rationnels quelconques plus fo'ands que B,esl égal au produit de n facteurs égaux à B; il est donc égal à B'\ et Ton peut aussi bien écrire