ENSEMBLES

séparation des nombres rationnels en deux catégories définit un nombre irrationnel, que je désignerai encore par M.

Dans tous les cas M est plus grand que tout nombre de Tensemble.

En effet, si A est un nombre de cet ensemble, il y a dans la première catégorie un nombre (rationnel) m plus grand que Â; ce nombre tn est plus petit que M; on a donc M > A.

Si M' est un nombre quelconque plus petit que M, il y a des nombres de Tensemble compris entre M' et M; en etfet, si m est un nombre rationnel quelconque compris entre M' et M, m qui est plus petit que M ne peut appartenir à la seconde catégorie, il appartient donc à la première, et il y a des nombres de l'ensemble supérieurs ou égaux à m; un tel nombre est plus petit que M, il est donc compris entre M' et M. On observera que, entre M et M% il y a une infinité de nombres de Tensemble; si, en effet, on a démontré qu'il y en a p, soit A le plus grand de ces p nombres; A est plus petit que M; il y a donc entre A et M quelque nombre de Tensemble; entre M' et M il y a donc p + 1 nombres de l'ensemble, etc. Cette dernière conclusion, toutefois, suppose que l'ensemble considéré ne * contienne pas un nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cet ensemble, que, en d'autres termes, la limite supérieure M de cet ensemble n'appartienne pas à l'ensemble.

460. Si l'on sait que tous les nombres d'un ensemble sont inférieurs ou égaux à P, il est clair que la limite supérieure M de cet ensemble ne pourra être supérieure àP, puisqu'il ne peut pas y avoir de nombre plus petit que M qui soit supérieur ou égal à tout nombre de Tensemble.

Si, dans un ensemble dont la limite supérieure est M, on supprime certains nombre», M est toujours supérieur ou égal à ceux qui restent; par suite, la limite supérieure de l'ensemble formé par les nombres que l'on n'a pas supprimés est au plus égale à M.

461. Les nombres d'un ensemble quelconque sont nécessairement supérieurs ou égaux à zéro. On démontrera comme tout à l'heure que, pour tout ensemble, il y a un nombre m jouissant des propriétés suivantes : !'' m est égal ou inférieur à tout nombre de l'ensemble; 2* il n'y a pas de nombre plus grand que m qui soit égal ou inférieur à tout nombre de l'ensemble. En d'autres termes, si m' est un nombre quelconque supérieur à m, il y a au moins un nombre de l'ensemble qui est plus petit que m'. Ce nombre m, nécessairement unique, s'appelle limite inférieure de rensenïble(*).

Pour la définir, dans le cas où il n'y aurait pas dans l'ensemble considéré de nombre plus petit que tous les autres, on séparera encore les nombres rationnels en deux catégories, la seconde catégorie comprenant chaque nombre rationnel qui se trouve être supérieur ou égal à quelque

1. Cette proposition devrait être modifiée, si l'on considérait des nombres négatifs, plus petits que zéro. Dans ce cas, pour affirmer Texistence d'une limite inférieure de l'ensemble, il faudrait savoir que les nombres do l'ensemble sont tous supérieurs & un certain nombre positif ou négatif B ; en d'antres termes, il faudrait savoir que l'ensemble est limité par en bas.

nombre de Tensemble; dans cette catégorie il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres; si parmi les nombres rationnels qui n'y rentrent pas il y en a un plus grand que tous les autres, ce sera le nombre m cherché. Si parmi les nombres rationnels qui ne rentrent pas dans la seconde catégorie il n'y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres, ces nombres rationnels, à eux tous, forment la première catégorie et la séparation de tous les nombres rationnels en deux catégories définit alors un nombre irrationnel qui est la limite inférieure de l'ensemble

considéré.

Si tous les nombres de l'ensemble sont supérieurs ou égaux à un nombre p, sa limite inférieure sera aussi supérieure ou égale à p.

Si Ton supprime quelque nombre d'un ensemble dont la limite inférieure est m, la limite inférieure de l'ensemble des nombres restants sera égale ou supérieure à m.

462. Si l'on considère un ensemble dont les limites supérieure et inférieure sont M et m, tout nombre de l'ensemble sera ou égal à l'un des nombres M, m ou compris entre ces nombres : la différence entre deux nombres quelconques de l'ensemble est donc égale ou inférieure à M — m.

D'ailleurs, puisqu'on peut trouver dans l'ensemble des nombres qui diffèrent de M et de m aussi peu qu'on le veut, on pourra former des différences entre deux nombres pris dans l'ensemble qui diffèrent aussi peu qu'on le voudra de M — m; donc M —m est la limite supérieure de l'ensemble des nombres distincts que l'on peut former en retranchant un nombre de l'ensemble d'un autre nombre de l'ensemble.

§ 7. — Limites.