Rappelons et complétons la définition du n"238. Soit

une suite infinie donnée de nombres rationnels ou irrationnels : en disant que cette suite est infinie, nous entendons seulement que chacun de ses termes est suivi d'un autre; en disant qu'elle est donnée, nous entendous qu'on se donne un moyen de calculer un terme quelconque connaissant son rang : si ce terme était irrationnel, cela voudrait dire qu'on se donne la loi do séparation des nombres rationnels en deux catégories qui le définit.

On dit que cette suite a une limite, ou mieux que a„ a une limite quand n grandit indéfiniment, ou pour n infini, s'il existe un nombre A jouissant de la propriété suivante : quelque petit que soit le nombre t, autre que zéro, on peut lui faire correspondre un nombre entier p tel que tous les termes de la suite qui suivent le p**™*^ aient avec A une différence moindre que t. A est alors la limite de la suite (ou la limite de a„, pour n infini).

464. Considérons, par exemple, un nombre irrationnel A et la suite de

Ton ait -— < t, et il est clair que l'on aura A — «,i < c, pourvu que l'on

LliMlTES. 417

ses valeurs approchées à — » — , ... , — , ... près, par défaut, a,, a^, ... ,

a„, ... . La différence A — a„ est inférieure à — : quel que soit le nombre • autre que zéro, on peut évidemment trouver un nombre entier p, tel que

suppose n supérieur (ou égal) à p. A est donc la limite de la suite précédente.

Ainsi un nombre irrationnel quelconque est la limite, quand n grandit indéfiniment, du nombre que Ton déduit de sa représentation décimale en conservant n chiffres décimaux.

On voit aussi bien que le nombre irrationnel A est la limite de la suite

formée par les valeurs approchées à — , — » .... — , .... près, par excès. ^ ^^ 10 100 10" '^ '^