Les remarques suivantes sont évidentes

Soit une suite infinie

Gif flj, ..., d^y ••.

qui admette la limite A. Il en sera de même de la suite que Ton en déduit en supprimant tels termes que Ton veut, au commencement, par exemple les p premiers. Quand on n'a affaire qu'à la limite de la suite, les premiers termes n'importent pas; ce qui importe, c'est la façon dont les termes se comportent quand n croit indéfiniment.

Si A n'est pas nul et si on se donne un nombre quelconque «, autre que zéro, on peut trouver un rang p, à partir duquel tous les termes de la suite soient compris enire A — a et A + «; il suffit de déterminer p de façon que la différence entre A et a„ soit moindre que a; si n est plus grand que p, a„ sera compris entre A — «et A + «. On peut observer qu'il existe certainement un nombre plus grand que tous les termes de la suite; tel sera par exemple n'importe quel nombre plus grand que les nombres a^, ag, ..., a^, A -}- a. On observera aussi que, à parlir d'un certain rang, il n'y a plus, dans la suite, de terme qui soit nul.

Quand A est nul, si on se donne un nombre quelconque «, différent de zéro, on peut affirmer que, à parlir d'un certain rang, tous les termes sont plus petits que a. *

Quand on sait que, dans une ou plusieurs suites, certaines conditions se trouvent séparément vérifiées à partir d'un certain rang pour chacune des suites, on peut affirmer que, à partir d'un certain rang, le mène pour toutes les suites f ces conditions se trouvent vérifiées simultanément. Il suffit pour cela de déterminer le plus grand des rangs à partir duquel chacune des conditions se trouve simultanément vérifiée.

Tannkrt. 27

418 LEÇONS D'AHITHMËTIQUE

Si, par exemple, les deux suites

dlf (l^f ...y û,,, ..., Oj, Oj, ...) 0„, ...

ont pour limites respectives des nombres A, B, différents de zéro, et si on se donne un nombre «, différent de zéro, on peut affirmer Texistence d'un entier p, tel que chacun des termes de la première suite se trouve, lorsque son rang est supérieur à p, compris entre A — a et A + «» «t que, en même tempSy chacun des termes de la seconde suite se trouve compris entre B — a et B + a.