Lorsqu'on se donne une suite infinie de nombres

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admettant une limile A, chaque terme constitue en quelque sorte une valeur approchée de A; Verreur que Ton commet en remplaçant la limite A par un terme de cette suite, a,^ par exemple, est la différence t„ entre A et a„; cette erreur a elle-même pour limite zéro quand n augmente iadéfiniment.

Si plusieurs nombres sont donnés ainsi par des suites infinies, si l'on a à faire, sur ces nombres, des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division^ et si Ton remplace dans ces opérations les nombres vrais (les limites) par des valeurs approchées (les termes des suites}, on aura des valeurs approchées des résultats, avec des erreurs moindres que des nombres qu'on a appris à déterminer au chapitre VIIL On reconnaît sans peine que ces erreurs peuvent être supposées ausai petites qu'on le veut en prenant des termes suffisamment éloignés dans les suites, et par conséquent assez rapprochés de leurs limites ; cette remarque conduit aux théorèmes suivants :

Supposons que a^^ et b^ aient respectivement pour limites A et B, quand n augmente indéfiniment, la somme a„ + K aura pour limite a + b; le produit aJbJ^ aura pour limite AB ; si Tona (^], quel que soitn, a„^ 6,,, la différence a,^ — 6„ aura pour limite A — B ; enÛn, pourvu que B soit différent

de 0, la fraction ~ aura pour limite -•

Je me contenterai de démontrer la dernière proposition, qui demande quelques précautions de plus que les autres.

Si B n'est pas nul, on finira par ne plus rencontrer dans la suite &|, 6,, ..., &„,... que des termes qui ne sont pas nuls; on ne considérera les

termes j^ qu'à partir d'un rang tel que cette condition se trouve toujours vérifiée.

1 . Cette restriction devient inutile quand on a introduit les nombres négatifs.