LIMITES

Supposons d'abord que A soit nul ; il faut prouver que j- a zéro pour

limite quand n augmente indéfiniment. Si Ton se donne un nombre quelconque a autre que zéro et un nombre quelconque W autre que zéro et plus petit que B, les termes de la suite aj, o^, ..., a^ ... finissant par être plus petits que «, ceux de la suite 61, 62, ..., 6„,... finissant par être plus grands que B^, on pourra donc déterminer un entier p tel que Ton ait

pourvu qu'on ait n > p ; il sufQra donc, si Ton se donne un nombre quel-

conque t, autre que zéro, d'avoir pris ^ < t, ou « < tB', pour être assuré que Ton a

sous la seule condition n > p; il est donc prouvé quer-» quand n aug-

mente indéfiniment, a pour limite zéro, ou r;-

Supposons maintenant que A ne soit pas nul. Choisissons arbitrairement uii nombre B' autre que zéro et plus petit que B; si Ton se donne un nombre «, diiïérent de zéro et plus petit que B — B', on peut lui faire correspondre un entier p tel que tous les termes de la première suite soient compris entre A — « et A + a, et tous les termes de la seconde suite entre H — « et B + a, pourvu que Ton ne considère que des termes de rang

A a supérieure p; sous cetle condition, les nombres r^i -^ sont l'un et l'autre

*» On

A — ta. A -4- a.

compris entre ■^—. — et p ? leur différence mutuelle est donc moindre que la plus grande des deux différences

et moindre, a fortiori, que

puisque Ton a B' < B — «; or, si on se donne un nombre quelconque c, différent de zéro, il suffit d'avoir choisi d'avance « tel que Ton ait

c'esl-à-dire « moindre que „> pour être sûr que la différence entre

:=r et T^ sera moindre que c dès que n sera supérieur à ». Par suite, r- a

pour limite -g quand n augmente indéliniment.

Il est très important, étant donnée une suite infinie (c'est-à-dire comprenant un nombre infini de termes rangés dans un ordre déterminé), de savoir reconnaître si cette suite a, ou non, une limite. On a à sa disposition, pour cela, deux théorèmes, énoncés aux n" 467 et 471.