Si les termes de la suite infinie

ne vont jamais en diminuant lorsque Ton s'avance dans la suite et s'ils sont tous inférieurs à un nombre fixe P, la suite a une limite qui ne peut dépasser P, et qui est au moins égale à n'importe quel terme de la suite. Considérons en effet l'ensemble des nombres distincts qui entrent dans cette suite. Cet ensemble est limité, puisque tous les nombres qui le composent sont plus petits que P. Il a donc une limite supérieure A qui ne peut être plus grande que P, qui est supérieure ou égale à n'importe quel nombre de la suite. Si l'on se donne un nombre quelconque c autre que zéro, il y a dans l'ensemble, ou dans la suite, au moins un nombre qui diffère de A d'une quantité moindre que t. Soit a^ ce nombre, les termes de la suite qui suivent a^ sont supérieurs ou égaux à a^, inférieurs ou égaux à A; leur différence avecAest donc moindre que A — a^» et, a fortiori^que t. La suite a donc A pour limite (n** 463). Observons que si le nombre A était égal à un terme de la suite, à o^, par exemple, tous les termes de la suite qui suivent a^ seraient nécessairement égaux à A.

468. Imaginons, par exemple, un symbole écrit comme un nombre décimal qui aurait un nombre infini de chiffres décimaux, et considérons la suite dont les termes successifs

ttj, fl2» •••> ^11» •••

seraient obtenus en conservant seulement 1, 2, ..., n, ... chiffres décimaux : ces nombres, à mesure qu'on s'avance dans la suite, ne vont jamais en diminuant; chacun d'eux est d'ailleurs inférieur à l'un quelconque dos termes de la suite

ainsi qu'il résulte immédiatement de la règle (n* 223) pour reconnaître quel est le plus grand de deux nombres décimaux donnés.

La première suite a donc une limite A supérieure ou égale à n'importe lequel de ses termes, inférieure ou égale à n'importe quel terme de la

UMITES. 421

seconde suite. A ne peut être égal à un terme a„ de la première suite que si tous Jes termes suivants sont égaux à a„ , c'esl-à-dire si tous les chiffres qui, dans le symbole décimal, suivent le n^^^ sont des zéros. Dans la seconde suite, le raisonnement développé au n*" 236 montre que, lorsqu'on s'avance vers la droite, les termes ne vont jamais en augmentant; il eu

résulte que si A est égal à Tun d*eur, à a„ -] ;;, par exemple, tous les

termes suivants sont aussi égaux à A et à a,, H ; or, pour que Ton ait

il faut et il suffît que Ton ait

mais la différence «„ ^, — a„ est égale au dernier chiffre de a,^ ^ i divisé par 10'* "*" * ; régalité précédente ne peut donc avoir lieu que si le dernier chififre de a„ ^. i est un 9 ; le raisonnement se continue et Ton voit que A ne

peut être égal à a„ H aue si, dans le symbole décimal, tous les chiffres

qui suivent le n**"*' chiffre décimal sont des 9. Si. Ton exclut ce cas, on

voit que Ton aura, quel que soit n,

ci„ ^ A < a„ + — ;

par suite, a„et a„ -] jaseront les valeurs approchées de A par défaut et

par excès à — ^^près; en sorte que le symbole décimal qu'on a imaginé est

la représentation décimale du nombre A, qui, par suite (n'464), ne peut être rationnel que si cette représentation décimale est une fraction décimale périodique.

11 est à peine utile d'ajouter que, dans tous les cas, le nombre A est aussi la limite de la seconde suite

469. Au théorème du n* 467 il convient d'ajouter un théorème analogue et dont la démonstration est toute pareille : Une suite infinie

admet une limile si, en s'avançant dans la suite, ]es termes ne vont jamais en augmentant (^). Cette limite est au pins égale à Fun quelconque des termes de cette suite. C'est la limite inférieure de Tensemble formé par tous les nombres distincts de la suite.

470. Il arrive fréquemment que Ton a à considérer deux suites infinies

(Z|, <l|, ..., (lf^^ ..., Oj, 6], ..., 0„, ...

jouissant des propriétés suivantes :

Quand on s'avance à droite, les termes ne vont jamais en diminuant dans la première suite ; les termes ne vont jamais en augmentant dans la seconde suite ; chaque terme de la première suite est plus petit que chaque terme de la seconde suite. Enfin la différence 6„ — a„ de deux termes de même rang a pour limite 0 quand n augmente indéfiniment.

S'il en est ainsi, il est clair que la première suite a une limite A, et la seconde une limite B; d'ailleurs on a

la difl'érence entre A et B est donc au plus égale à b,^ — a,^ , et comme, en prenant n assez grand cette différence peut être rendue plus petite que tel nombre qu'on voudra, il est clair qu'on a A = B. Les deux suites ont une même limite.

On a rencontré un exemple dans le numéro précédent.