Pour qu'une suite infinie

ait une limite, il faut et il suffit que la condition suivante soit vériGée: à chaque nombre c, aussi petit qu'on le veut, mais différent de zéro, on peut faire correspondre un nombre entier p, tel que la différence entre deux termes quelconques de la suite, de rang supérieur àp, soit moindre que c («).

1** La condition est nécessaire. Supposons, en effet, que la suite ait une limite A. Si l'on se donne un nombre quelconque t., autre que zéro, on pourra lui faire correspondre un entier p, tel que la différence entre A

et a„ soit moindre que ^t pourvu que l'on ait n>p; si donc on suppose à la fois n "> py m^ p, les nombres a^^ et a^ auront avec A une différence moindre que r- ; leur différence mutuelle sera sûrement

I. Si l'on considérait des nombres négatifs, il faudrait ajouter : et restent toujours sapérieurs à un nombre donné.

S. Ce théorème est dû & Cauchy,