LIMITES

moindre que ^ s'ils sont tous deux moindres que A, ou plus grands

que A; si Tun était plus grand que A, l'autre plus petit, leur différence mutuelle serait certainement moindre que t. Ia proposition est démontrée. 2r La condition est saffisante. Supposons en effet qu'elle soit vérifiée ; tous les termes de la suite qui suivent lep^^"^^ sont compris entre a^ — t et a^, + « ; il est clair que tous les nombres de la suite sont inférieurs ou égaux au plus grand des nombres

a,, ûj, .., a^„ a^ + t:

par suite, Tensenible fourni par les nombres distincts de la suite considérée est limité (*). Désignons en général par An et B» les limites supérieure et inférieure de l'ensemble formé par les nombres distincts de la suite

il est clair, d*après les remarques faites aux n"* 460, 461, que Ton a, quel que soit rentier n :

on a donc, en supposant m > n,

et rinégalilé A^ g B „, subsiste d'ailleurs quels que soient les nombres entiers n et m, puisque, si Ton remplace m par un nombre plus petit, B^ ne peut que diminuer. Si donc on considère les deux suites

^li *^2» •••» *^n> •••»

"l> "iï •••» "n» •••>

les termes de la première ne vont jamais en augmentant, les termes de la seconde ne vont jamais en diminuant; d'ailleurs un terme quelconque de la première est supérieur ou égal à n'importe quel terme de la seconde. Chacune des suites a une limite, et si nous désignons ces limites par A, B nous aurons, quel que soit n :