A„^ASB„, A„>B>B

On observera en passant que les conséquences qui précèdent subsisteraient pourvu que les nombres aj, a^^ ..., a„, ... formassent un ensemble limité, et il serait aisé de montrer encore que, dans ces conditions, on a A >B.

I. On prouverait de même, si l*on considérait des nombres négatifs, qu'il est limité par en bat.

424 LEÇOxNS D'ARITHMÉTIQUE.

Quoi qu'il en soit, A„ — B„ est la limite supérieure de l'ensemble des nombres distincls que Ton peut obtenir en retranchant Tun de l'autre deux des nombres a^,^!, «n+a» ••• ('i** ^^2). Si donc toutes ces dilTérences sont inférieures à t, on aura A„ — B„ S t, et cette inégalité subsiste si Ton remplace n par un nombre plus grand, ce qui ne peut que diminuer la différence A„ — B„. Si donc on donne un nombre c aussi petit qu'on le veut, mais différent de zéro, on pourra lui faire correspondre un nombre entier p, tel que Ton ait, pourvu que n soit supérieur à p :

les deux suites

Aj, A2» •••» A„, •..,

sont donc dans le cas du n» 470; leurs limites respectives A, B sont donc égales ; d'ailleurs, des inégalités

An ^ A g B„, A„ g a„ > B„

on conclut que la différence entre A et a„ est moindre que A„ — B„, par suite moindre que c, pourvu que n soit plus grand que p ; a„ a donc A pour limite quand n augmente indéfiniment.

472. Enfin, on prend encore le mot liiyiile dans un sens différent de ceux qui précèdent, sens qu'il me reste à expliquer.

Considérons un ensemble déterminé quelconque, comprenant un nombre infini de termes. On appelle valeur limile de cet ensemble tout nombre A tel que, quelque petit que soit le nombre t, différent de zéro, on puisse affirmer qu'il y a un nombre infmi de termes de l'ensemble dont la différence avec A soit moindre que c.

Supposons que l'ensemble que l'on considère soit limité et que M et m soient ses limites supérieure et inférieure ; on a démontré au n* 460 que si M n'était pas un terme de l'ensemble, M était une valeur limite de cet ensemble, au sens qui vient d'élre donné à ce mol; de même m, si ce nombre n'appartient pas à cet ensemble.

De même, si l'on considère une suite

qui admette une limite A et dont tous les termes ne soient pas, à partir d'un certain rang, égaux à A, elle comprendra nécessairement un nombre infini de termes distincts, et l'ensemble formé par ces termes distincts aura A pour valeur limite.

La notion de valeur limite d'un ensemble conduit à la proposition suivante :

Si un ensemble (E) est limité et si M et m sont respectivement la limite

NOMBRES IRRATIONNELS; UMLTES. 425

inférieure de cet ensemble, cet ensemble admet au moins une valeur limite qui est ou M, ou m, ou un nombre intermédiaire.

Si m se trouve être une valeur limite de l'ensemble, il -n'y a pas lieu à démonstration. Supposons qu'il n'en soit pas ainsi : alors il existera des nombres a plus grands que m et tels qu'il n*y ait qu*un nombre iini de termes de l*ensemble entrent et a; en effet, nier l'existence d'un nombre a, c'est affirmer qu'il y a une infinité de termes de l'ensemble entre m et n'importe quel nombre plus grand que m, c'est dire que m est une valeur limite de Tensemble.

Considérons maintenant l'ensemble (A) des nombres a supérieurs à m, tels que, entre m et chacun d'eux, il n'y ait qu'un nombre fini de termes de Pensenible (E). L'ensemble (A) est limité, puisque entre m et M il y a une infinité de termes de (E) et que, ainsi, tout terme de (A) est forcément inférieur à M. Désignons par A' la limite supérieure de l'ensemble (A) ; on aura certainement

Je dis que A' est une valeur limite de l'ensemble (E). Soit en effet t un nombre aussi petit qu'on le voudra, différent de zéro, je dis que entre A' — c et A' + t il y a une infinité de nombres appartenant à l'ensemble (E). En effet, d'une part, entre m et A' — c, il n'y a qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E), car il y a certainement un nombre de l'ensemble (A) qui est plus grand que A' — c ; entre ce nombre-là et m, il n'y a qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E). Si donc, d'autre part, entre A' — c et A' + », il n'y avait qu'un nombre fini de termes de l'ensemble (E), il n'y en aurait aussi qu'un nombre fini entre m et A' -f~ <» ^n sorte que A' 4* c appartiendrait aussi à Fensemble (A). La proposition est donc démontrée (*).

Exercices.

284. Si A est un nombre irrationnel, en lui ajoutant, en lui retranchant un nombre rationnel, en le multipliant par un nombre rationnel autre que zéro, en le divisant par un nombre rationnel, on obtient toujours un nombre irrationnel.

285. Si X est un nombre irrationnel et si a, 6, a% b' sont des nombres rationnels, le nombre

ax -^ b a'x + b'

est irrationnel, à moins que l'on n'ait — = -•

286. En désignant par n et e des nombres irrationnels dont les représentations décimales sont

i. Elle est due à Bo/^ano, géomètre du commenceineDt do ce siëclo; olle joue un rôle essentiel dans la théorie des ensembles, théorie que l'on doit à M. G. Cantor.

426 LEÇONS FARlTHliËTIQUE.

on demande de calculer avec trois décimales exactes les nombres -« -i ic*,e*, Jïë,

287. h étant un nombre irrationnel donné et a un nombre entier donné, autre que un, on peut trouver une suite indéfinie de nombres entiers

tous plus petits que a, tels que si l'on -considère le nombrt;

*n = «o + - + -ï + ... + -"^ on ait

En supposant 6 = v^, a = 2, calculer les nombres Q^^, oit, 04, ..., «to.

288. Étant donnés un nombre irrationnel b et une suite indéfinie de nombres entiers, tous plus grands que un,

^1» ^ï» •••» ^ni ••*»

on peut trouver une suite de nombres entiers

•01 •lî *t» •••> *n, ...

tels que Ton ait aj < fl|t «j < ûj, ..., »n < un» ••• ®^ ^^^ que si Ton pose

a, «iffi a,«,...fl„

on ait

bn<à< à,, +

afOf.'a,)

289. On appelle moyenne arithmétique de deux nombres leur demi-somme, moyenne géométrique de deux nombres la racine carrée de leur produit. Démontrer que la moyenne arithmétique de deux nombres différents est plus grande que leur moyenne géométrique. La différence entre les deux moyennes est plus petite que le carré de la différence entre les deux nombres divisé par huit fois le plus petit.

290. Si X est un nombre compris entre 0 et 1, le nombre x {l — x) est inférieur

ou égal à -; il ne peut lui être égal que pour xz= -• 4 2

291. Si a est la racine carrée à une unité près, par défaut, du nombre A, on a

Si Ton rapproche ce résultat des n** 290 et suivants, on pourra apprécier l'avantage que présente, dans l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier, l'emploi de la limite inférieure que Ton a indiquée alors.

Voir dans le Bulletin des Sciences mathématiques (1887) un article de M. Darfooux «ur ce sujet.

292. Si a, a', 6, V sont des nombres rationnels dont les deux derniers ne sont pas

des carrés parfaits, on ne peut pas avoir a + v/^ = a' -f v^' ou a — \/i = a' — v^' sans que l'on ait a = a', 6 = 6'; on ne peut pas avoir a -{- ^ =^ a' — ^b\

293» Démontrer que l'on a, ^uels que soient le nombre a et le nombre b pJus petit que a,

Démontrer que le nombre

V a + 2 \la — 1 + V « — 2 y^a — 1

est égal à 2 si a est compris entre 1 et 2 et à 2 v/« — 1 si a est plus grand que 2.

294. On considère deux ensembles limités : les limites supérieure et inférieure du premier sont M et m, les limites supérieure et inférieure du second sont M' et m'. Démontrer que si Ton considère Tensemble des nombres différents obtenus en ajoutant un terme du premier ensemble et un terme du second, cet ensemble aura pour limites supérieure et inférieure les nombres M + M', m + m'. Ue même, Tensemble des nombres différents obtenus en multipliant un terme du premier ensemble et un terme du second admet pour limites supérieure et inférieure les nombres MM', mm^.

295. Si le nombre x^ a pour limite x quand n augmente indéfiniment et si Ton désigne par a, 6, e, d des nombres fixes dont les deux derniers ne sont nuls ni Tun ni Tautre, le nombre

w-n -h d a pour limite

ax -{- b ex -f d

quand n augmente indéfiniment.