Si les termes de la suite indéfinie

^1» ''^t» •••1 ^ni •••

vont en décroissant et si Ton forme les nombres

ài = «1, 6, = «1 — ût» ^1 = «1 — ^^a -h «s» 64 = a, — fl, + a, — o*, ..., les suites

^li ^3i ^ii ••• ^în + t» •••»

^«ï ^4t ^ê' ••• ^inï •••

ont des limites. Ces limites sont égales si a„ a pour limite zéro quand n augmente indéfiniment ; dans ce cas la suite

0|, ©ti Og, ..., o„, ...

a aussi une limite qui est la môme que celle des suites précédentes.

300. Soient «z et 6 deux nombres donnés ; soient Ou 6| les moyennes arithmétique et géométrique de a» 6; soient a^^ à^ les moyennes arithmétique et géométrique de Oi et 61, fis et 6) les moyennes arithmétique et géométrique de a, et 6|, etc.; on continue ainsi indéfiniment : démontrer que a^ et 6„, quand n augmente indéfiniment, tendent vers une limite commune.

En supposant a > 6, démontrer que Ton a

Calculer la limite avec 7 décimales exactes, en supposant a = 11, 6 = 10. 301. Soit X un nombre plus petit que un; si Ton pose

^l — x = 1 — V, on eu conclut

si l'on pose

l/i — J» 2/« — ij H- "g-t •••» Vil — 2 H 2

les nombres j/,, y„ ..., y„, ... tous inférieurs à t/, vont en croissant avec n; démontrer que pour 71 infini, y„ a pour limite le nombre y. 302. Soit X un nombre plus petit que un ; si l'on pose

on en conclut

^~ 2 "" 1' si Ton pose

yi — 2» y« — 2 — 2"' •••» y« "■ 2 — 2 — * *"'

chacun des termes de la suite yi, r/s, ..., 2^„, ... est compris entre les deux termes qui le précèdent. Cette suite a pour limite le nombre y, et les termes en fournissent des valeurs approchées, alternativement par défaut et par excès. 303. Si X est un nombre plus petit que un, les nombres

sont des valeurs approchées de vï+x, alternativement par défaut et par excès.

Quand x est petit, elles permettent d'avoir Vl + ï avec une grande approximation. Si « est très petit par rapport au nombre a, la formule

permet d'obtenir des valeurs approchées de v^a* 4- «•' ainsi a -f -- est une valfrur

approchée par excès, n -{- ~ t— j est une valeur approchée par défaut.