Soit a une valeur approchée de v/Â ; soient ensuite

les nombres ai, a,, ..., a,,, ... fournissent des valeurs qui approchent rapidement do

\/Â, toutes par excès.

Démontrer que Ton a

g» — VA j /gj — \/A\ *^ a,» + VA "" Vfl, + v'^/ '

vers quelle limite tend un quand n augmente indéfiniment?

Le procédé de calcul de la racine carrée d'un nombre qui résulte de la proposition précédente était connu des Anciens.

306. Étant donnés deux nombres a, b, on forme une suite de nombres fli, 6t, ^'r ^ti ""t ('m àni ••• tels que Ton ait

^ + * I. r-T fli + *i 1 /— 7-

«1 = —g — . bi = Vûiô, a, = — - — , 6j, = ^Otài , ... :

chaque terme de la suite a, 6, a^ 61, ai, 6., ... est ainsi, à partir du troisième, alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux termes qui le précèdent; en supposant a < 6, les termes de la suite a, a^ Ot, ... vont en croissant, les termes de la suite ô, i,, 6„ ..., ô,„ ... vont en décroissant; démontrer que Ton a

que On et 6„ tendent vers une limite commune quand n augmente indéfiniment. En est-il de même quand on a a > 6?

En supposant a =z o, b = -y calculer la limite avec trois décimales exactes.

309. a étant un nombre entier autre que un,^on considère une suite indéfinie de nombres entiers

•Oï *!» *t» •••» •n» •••

tous plus petits que a, et Ton considère le nombre

démontrer que b^ lorsque n augmente indéfiniment, tend vers une limite : cette limite est un nombre irrationnel si, à partir d'un certain rang, les termes de la suite

ne se reproduisent pas périodiquement.

310. On considère une suite indéfinie de nombres entiers, tous plus grands que un,

ûi, o%, a^y ..., Ufif ...

et une suite de nombres entiers correspondants

*lï *•! *J» •••! *n» •••

tels que Ton ait, quel que soit ^i *n<^ni soit, en désignant par Oq un nombre entier quelconque

6„ = «, + 2î + -ÎL + ^ + ....+ ••■

démontrer que b^ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. 311. On considère une suite indéfinie de nombres entiers

dont le premier est quelconque et dont les autres satisfont aux conditions a, < 2, ai, < 3, ..., «„< n, .... et Ton pose

fl« = «I + rS + TTTT^ + TS-5-7 + - +

démontrer que a^ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Cette limite est un nombre irrationnel, sauf dans le cas où, à partir â*un certain rangp, tous les nombres «n sont nuls, ou dans le cas où, à partir d'un certain rang p, on a a„ = n — 1. — Dans le cas où l'on prend «i = 1, «, = oK) = ... ol,» = ... =1, celte limite est un nombre que l'on désigne habituellement par e.

312. a étant un nombre quelconque autre que zéro, le nombre ^a a pour limite l'unité quand n augmente indéfiniment.

Si en désignant par b un nombre quelconque plus grand que un et par p un nombre entier, on pose a =r 6** — 6, puis

Xi=zyla, T,=:Va + Var^s= Va +Va + ^,

et, en généra^ x^ =z^a 4- a;„i, on demande de démontrer que a?,, est plus petit que 6 et a pour limite b quand n augmente indéfiniment.

Quelle est la limite de x^ quand p et a sont égaux à 2? 313. On pose

a, = y/2,Q,= y/i + v/2, a, = v/g + \/2+Vi et généralement

û« = V^2 + a«~i; montrer que si Ton fait les calculs en conservant chaque fois p décimales Terreur (en moins] commise sur Tévaluation de a,, sera moindre que Calculer ainsi la

valeur approchée de a^ en prenant p = 7. En partant de celte valeur calculer le

nombre 64 x >/2 — a^; avec quelle approximation est-il connu?