Supposons que dans les deux suites

0|, 6|, ..., On, ...

les termes aillent en diminuant (*) quand n augmente et que bn ait pour limite

un — (l,|i j

zéro pour n infini, si le nombre p-^ tend vers une limite quand n augmente

bn — 6,1+1 «n

indéfiniment, -r- tend vers la même limite. bn

316. Si an tend vers une limite quand n augmente indéfiniment, il en est de même du nombre

«1 + o« + «fs + ... + «n n

317. Soit X un nombre irrationnel positif donné et m un nombre entier positif aussi donné : démontrer qu'il y a 'un système de nombres entiers positifs a, b dont le

1. Le lecteur familier avec la théorie des nombres négatifs reconnaftra que la proposition i démontrer subsiste quand la condition précédente n'est vérifléo que pour la seconde suite.

2. Ici encore cette supposition n'est nécessaire que pour la seconde suite.

premier est inférieur ou égal à m, et tels que la valeur absolue de la dilTérence eu; — à

soit moindre que — {*),

Prenons en effet pour a Tun des nombres 1, 3, ..., m, faisons-lui correspondre le nombre entier b qui est la partie entière de ax, et considérons la partie entière de m {ax — b\ qui est évidemment inférieure à m : elle prendra m valeurs positives ou nulles quand a prendra les valeurs 1, 3, ..., m; si Tune de ces valeurs est nulle, le théorème est vérifié ; si aucune n'est nulle, deux d'entre elles correspondant, par exemple, aux valeurs a\ b' et a", b" de a, b seront égales, et le nombre m [{a" — a')x — {b" — b')] sera plus petit que un, en valeur absolue.

Par exemple, pour x = n = 3,14159... et m = 10, en appliquant la règle précédente, on trouve qu'aucune valeur .de la partie entière de m {ax — b) n'est nulle, mais que ces parties entières sont égales pour a' = 1, a" = 8 ; pour a' = 2, «" = 9; fl' = 3, a" = 10 : dans les trois cas on a a" — a' = 7, b" — b' = 22 ; 7« — 22 est

en valeur absolue plus petit que --. De même pour a: = «•, m = 10, on trouve

que la partie entière de 10 (7«* — 69) est nulle ; -^ est une valeur approchée de «•

avec une erreur moindre que — .

318. Soient x, y deux nombres irrationnels donnés et m, m' deux nombres entiers positifs aussi donnés ; démontrer qu'on peut trouver trois nombres entiers a, 6, c dont les deux premiers soient en valeur absolue moindres que m et m' et tels que la

valeur absolue de ax + 6^ — c soit moindre que r,

mm!

Démonstration analogue à la précédente : à chaque système de nombres entiers a, b respectivement pris parmi les nombres 1, 2, ..., m et 1, 2, ..., m', on fait correspondre la partie entière c de {ax -f by) ; on considère ensuite la partie entière de mm'{ax -{- by — c) ; parmi les mm' nombres entiers ainsi obtenus, il y en a un qui est nul, ou deux qui sont égaux, etc. Par exemple, pour x = «*, y = «, m = m' = 20, on trouve que la partie entière de 20*(12«« -}- 4« — 131) est nulle. — La racine positive de l'équation 12x» + 4x — 131 = 0 est x = 3,14157... .

319. Soient x, y deux nombres irrationnels positifs donnés et m un nombre entier positif aussi donné; on peut trouver trois nombres entiers a, 6, ç dont le premier soit positif et inférieur à m* et tels que les valeurs absolues des nombres ax — b^ax — c

soient moindres que ~.

Ayant choisi le nombre entier a parmi les nombres 1, 2, 3, ..., »»*, on lui fait

correspondre les nombres 6, c qui sont les parties entières de ax, a«/, puis on étudie

les m* systèmes de valeurs que peuvent prendre les parties entières de wi(ax — 6),

w(ox — c).

1. Cette question et les suivantes supposent le lecteur familier avec Tusage des nombres négatifs.

Tankkbt. 28