MESURE DES GRANDEURS

§ 1. — Correspondance entre les g^randeurs

et les nombres.

473. La délinition bien connue « on appelle grandeur ce qui est susceptibie d^auginentation ou de diminution » est sans doute très vague dans sa généralité. Ou va toutefois essayer d'en tirer parti pour relier la notion de grandeur et la notion de nombre. En même temps, la première notion se précisera, peu à peu, pour celles des grandeurs auxquelles la notion de nombre s*applique exactement. Sans doute, c'est la notion de grandeur, au moins dans des cas particuliers, qui a donné naissance h la notion de nombre, et dans cet Ouvrage même on s'est efforcé de le montrer lorsque, par exemple, on a introduit les fractions; mais on a vu aussi comment cette notion de nombre pouiTait être détachée de son origine concrète, se construire entièrement avec un seul élément, le nombre entier, et être amenée ainsi à un haut degré de simplicité et d'abstraction. Maintenant que la notion de nombre entier, fractionnaire ou irrationnel, est complètement élucidée, que les opérations sur ces nombres sont bien précisées, il vaut mieux se placer à un point de vue opposé, et, regardant le nombre abstrait comme un instrument donné et connu, chercher quel parti on peut en tirer pour l'étude des grandeurs : cet instrument, dont on a cherché à expliquer la construction en vue d'usages particuliers, se trouve en etl'et pouvoir servir dans des cas beaucoup plus étendus.

Une grandeur sera donc un objet ou une propriété susceptible d'étals distincts, qui, toutefois, sous ces états distincts, se reconnaît comme étant de la môme espèce. Ainsi conçue, la grandeur est quelque chose d'indéterminé. Pour simplifier le langage, j'emploierai une lettre majuscule entre parenthèses, (G) par exemple, pour désigner une grandeur d'une certaine espèce; ce symbole (G) ne représente rien de déterminé, il ne se rapportai qu'à Vespêce de la grandeur. Dans chacun de ses états distincts, la grandeur (G) est déteimiinèe; on la représentera alors par une lettre majuscule, sans parenthèses. Il y a peut-être quelque inconvénient à employer le même mot « grandeur » pour désigner à la fois, par exemple, une longueur en général et une longueur particulière ; mais la notation précédente et l'emploi de l'épithète « déterminée » permettront de supprimer toute ambiguïté.

474. Si, par exemple, (G) est une longueur rectiligne comptée à partir d*un point 0 sur une droite OX limitée d'un côté à ce point et indéfinie

de l'autre, à chaque position du point M sur la droite OX correspond une longueur déterminée OM ; quand le point M occupe sur la droite des positions distinctes, on a des longueurs distinctes. De même, imaginons, dans la durée, un moment déterminé, que nous appellerons origine des temps, et ne considérons que des événements postérieurs à cette origine

des temps ; à deux pareils événements non simultanés correspondront deux temps distincts, écoulés entre Torigine des temps et chacun de ces événements.

Dans les exemples que je viens de citer, si Ton imagine deux états distincts de la grandeur considérée, on ne peut s'empêcher de concevoir la grandeur comme étant plus grande dans Tun que dansTaulre. Si le point M' est, sur la droite OX, plus à droite que le point &I, la longueur OM' est plus grande que la longueur OM. Si, des deux événements que Ton a imaginés, le second est postérieur au premier,.et si Ton désigne par T,T' les temps écoulés entre Torigine des temps et chacun do ces événements, ou dira que le temps T' est plus grand que le temps T.

Supposons d*ahord que Ton s'occupe d'une grandeur (G) telle que, si on la considère dans deux états distincts A, A', elle soit nécessairement plus grande dans un état que dans l'autre (et plus petite dans ce second état que dans le premier) ; nous écrirons, par exemple, A > A' ou A' < A, et cette supposition exclut la supposition contraire A < A'. Nous admettons en outre que la notion de plus grand implique la proposition suivante : si Ton considère trois états A, A', A'' de la grandeur (G) et si Ton a A > A', A' > A" on a A>A", en sorte qu'on peut écrire A > A' > A'' ; on dit que A' est compris entre A et A'', que A' est intermédiaire à A, A''.

475. Ceci posé, plusieurs cas peuvent se présenter : il peut arriver que si l'on considère deux états A, A' de la grandeur (G), il n'y ait qu'un nombre limité (entier) d'états intermédiaires à A, A' ; il existe alors des états de la grandeur (G) entre lesquels il n'y a pas d'états intermédiaires : c'est le cas des grandeurs discrètes, par exemple du nombre d'objets contenus dans une collection. J'écarterai ce cas relativement simple, auquel la notion de nombre entier s'applique particulièrement, et je supposerai que la grandeur (G) dont on s'occupe jouit de la propriété suivante : si l'on considère deux états A, A' quelconques, mais distincts, il y a au moins un état intermédiaire A'' : il y en a alors une infinité, puisqu'il y a certainement un état A'" intermédiaire à A', A", etc.

476.. Considérons maintenant deux états A, A' de la grandeur (G) et supposons qu'on ait A < A'; nous ne nous occuperons, dans ce numéro, que des états A, A' et des étals intermédiaires. Imaginons qu'on fasse correspondre aux états A, A' deux nombres entiers, 10 et 20 par exemple, en ayant soin de faire correspondre le plus petit entier 10 à la plus petite des grandeurs A, A'.

Aux différents nombres compris entre iO et 20 nous allons faire correspondre des états intermédiaires à A, A' en observant toujours la condition suivante que nous appellerons la condition fondamentale : si aux nombi^s distincts b, c on fait correspondre les états distincts B, G, on aura B < G ou B > G, suivant que l'on a 6 < c ou 6 > c. A des nombres égaux on fera toujours correspondre le môme état de grandeur.

Aux nombres entiei-s compris entre 10 et 20 faisons correspondes d'après une loi déterminée, mais d'ailleurs arbitraire, des états intermédiaires à A et A^, en observant toutefois la condition précédente.

On a ainsi établi une certaine échelle de graduation de A à A'. Gonsidérons maintenant les fractions comprises entre 10 et 20 et dont le dénominateur est 2 ; pour celles de ces fractions qui sont égales à des nombres entiers, nous les ferons correspondre aux mêmes états qui correspondent à ces nombres entiers ; pour les autres, nous ferons correspondre chacune d'elles, qui se trouve comprise entre deux entiers consécutifs, à un élat intermédiaire aux deux entiers qui correspondent à ces entiers consécutifs ; nous aurons ainsi rapproché les échelons de la graduation en multipliant les états de la grandeur qui sont numérotés, Gonsidérons de même les fractions comprises entre iO et 20 dont le dénominateur est 3, en laissant de côté celles de ces fractions qui se trouveraient être égales à quelque fraction de dénominateur 2, que Ton ferait correspondre aux états déjà numérolés au moyen de fractions égales, et faisons correspondre à chacune de celles qui subsistent des états intermédiaires à ceux que Ton a déjà numérotés, en tenant toujours compte de la condition fondamentale.

Nous faisons de même, successivement, pour les fractions comprises entre 10 et 20 dont le dénominateur est 4, 5, 6, ..., en resserrant toujours les échelons de la graduation. Gette opération pourra être continuée aussi loin qu'on le voudra. Dans la pratique, si Ton n'a pas été obligé de laisser des lacunes et si, en resserrant par places le numérolage, on n'en a effectivement pas laissé, il arrivera, quand on aura poussé la graduation assez loin, que deux états numérotés consécutifs seront à peine distincts, et qu'il n'y aura pas d'erreur appréciable à substituer l'un à l'autre, non plus qu'un état intermédiaire. La grandeur (G) sera en quelque sorte numériquement connue entre A et A', pourvu qu'on sache bien comment la correspondance entre les nombres et les états de grandeur a été établie ; quand on parlera d'un nombre compris entre 10 et 20, on saura quelle grandeur lui correspond. Suivant le degré de précision que l'on veut atteindre, la graduation peut être poussée plus ou moins loin.

Le thermomètre offre au lecteur un exemple de ce que nous venons de dire, qui lui est bien familier (^).

Théoriquement, on peut imaginer que l'opération soit poursuivie indéfiniment ; alors, on pourra dire qu'à chaque nombre rationnel compris entre

I. Obsorrons toutefois que, dans la pratique, la graduation est habituellement construite «u moyen de nombres en progression arithmétique.

10 et 20 correspond un état déterminé de la grandeur (G), la condition fondamentale étant toujours vériûée. Mais il importe de donner maintenant, en restant au point de vue théorique auquel nous nous plaçons, une forme précise à cette condition que j^ai énoncée sous forme vague : il nV a pas de lacupes dans le numérotage, ce numérotage pénètre partout. Cette condition consiste en ce que la graduation soit telle qu'il y ait des états numérotés, au moyen de nombres rationnels, entre deux états distincts quelconques B, C, intermédiaires à A, A' ; la grandeur (G) est supposée telle que cette condition puisse être vérifiée.

S'il en est ainsi, à chaque état B de la grandeur (G) compris entre A, A'" correspond un nombre compris entre iO et 20. En effet, ou bien l'état B a été numéroté au moyen d'un nombre rationnel, ou bien il n'en est pas ainsi. Dans ce dernier cas, considérons un nombre rationnel quelconque compris entre 10 et 20: à ce nombre correspond une grandeur déterminée de Tespèce (G) qui est certainement distincte de B ; suivant que cette grandeur est plus grande ou plus petite que B, nous rangerons le nombre rationnel dans une première ou une seconde catégorie : tous les nombres rationnels compris- entre 10 et 20 sont ainsi rangés en deux catégories ; chaque nombre de la première catégorie est plus pelit que chaque nombre de la seconde catégorie; si 6i est un nombre (rationnel) de la première catégorie, il lui correspond un état Bj de la grandeur (A) tel que l'on ait Bi < B et puisque, par hypothèse, il y a au moins un état Bt intermédiaire à B et à B|, auquel correspond un nombre rationnel 6|, on voit qu'il y a dans la première catégorie un nombre 6, plus grand que 6} ; on voit de môme que dans la seconde catégorie il ne peut y avoir de nombre plus petit que tous les autres nombres de la même catégorie. On a donc défini ainsi un nombre irrationnel 6 que Ton fera correspondre à l'élat B.

Ce nombre est plus grand que tous les nombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus petites que B ; il est plus pelit que tous les nombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus grandes que B.

Pour toutes ces grandeurs, la condition fondamentale est vérifiée.

Enfin si B' est une grandeur de l'espèce (G) à laquelle corresponde le nombre irrationnel t/ et si l'on a, par exemple, B < B', il y aura, par hypothèse, entre les états B et B' un état intermédiaire B'' numéroté au moyen d'un nombre rationnel 6" et les suppositions B < h'\ B" < B' entraînent les inégalités 6 < 6", b" < 6' et par suite 6 < 6'; la condition fondamentale est encore vérifiée.

477. Inversement je supposerai qu'à chaque nombre irrationnel 6 compris entre 10 et 20 corresponde une grandeur B comprise entre A, A'. Pour bien nous rendre compte de la nature de cette nouvelle supposition, reportons-nous au premier exemple signalé, celui d'une longueur portée sur une droite OX, à partir du point 0 : soient M, M' les extrémités de

celte longueur pour les deux états A, A' qui correspondent aux nombres 10 et 20; soit 6 un nombre irrationnel compris entre 10 et 20; désignons par 6' un nombre rationnel quelconque compris entre 10 et b, par b" un nombre rationnel quelconque compris entre 6 et 20 ; soient P' et p'' les extrémités des longueurs qui correspondent aux nombres 6' et b^' ; imaginons par exemple que tous les points p' qui répondent à des nombres rationnels 6' plus petits que b soient marqués en bleu, que tous les points p^'qui répondent à des nombres rationnels b" plus grands que b soient marqués en rouge : sur la droite OX, tous les points bleus sont à gauche

des points rouges; les points bleus ne se mêlent jamais aux points rouges : d*un autre côté, entre les points bleus et les points rouges, il ne peut y avoir un espace libre, puisque, entre deux points quelconques de la droite OX, il y a, par hypothèse, des points auxquels répondent des nombres rationnels, c'est-à-dire des points bleus ou rouges ; la région de la ligne OX où sont les points bleus ne peut donc être séparée de la région où sont les points rouges par aucun espace libre ; j'admettrai que les deux régions sont séparées par un pointy extrémité d'une longueur qui correspond au nombre 6.

478. Si la grandeur (G) est telle que, entre les états A et A', une graduation pareille à celle que Ton vient de décrire puisse être réalisée par la pensée, je dirai que cette grandeur est continue de A à A' ; à chaque nombre rationnel ou irrationnel compris entre 10 et 20 correspond un état de cette grandeur intermédiaire à A et A' ; réciproquement à chaque état intermédiaire à A et A' correspond un nombre rationnel ou irrationnel compris entre 10 et 20 : enfin la condition fondamentale est toujours vérifiée.

Il est à peine utile de dire que la supposition faite au début, à savoir que les nombres qui correspondaient aux états A, A' étaient entiers, n'a rien d'essentiel.

479. Ceci posé, si l'on considère une grandeur (G) qui soit continue entre deux quelconques de ses états, diverses circonstances peuvent se présenter. Ou bien il y a des états de cette grandeur au delà et en deçà desquels elle ne peut pas varier, ou bien il n'en est rien. Les angles, en géométrie, fournissent un exemple bien connu du premier cas.

Supposons que la grandeur (G) soit ainsi nécessairement comprise entre deux états limites A et A', en dehors desquels elle ne puisse être conçue, et supposons qu'on ait A < A' ; il sera naturel de faire correspondre le nombre 0 à l'état A et un nombre arbitraire à l'état A', par exemple un nombre entier ('); on procédera ensuite au numérotage des états intermédiaires, comme on l'a expliqué.

1. Ce serait le nombre 9, dans l'exemple cité, si l'on évaluait les angles en angles droits, le nombre 180 si on les évaluait en degrés.

480. Supposons maintenaDt que la grandeur (G) soit telle qu'il existe un certain état Ao de cette grandeur, au-dessous duquel elle ne puisse pas descendre, mais que si Ton considère tel autre état A que Ton veut, distinct de Ao, il existe certainement un état A' tel que Ton ait A' > A ; on procédera comme il suit : on fera correspondre Tétat Aq au nombre 0, puis, choisissant des états A,, Ag, A3, ... tels que Ton ait A, < A2< A3, ..., on les fera correspondre aux nombres entiers 1, 2,3,...; on imaginera que celte opération de numérotage au moyen des nombres entiers soit poursuivie indéfiniment et de façon que si l'on considère un état quelconque A de la grandeur (G), il y ait certainement un état A„ correspondant à un nombre entier n et tel que Ton ait A„ > A (*). Puis on graduera la grandeur entre Aq et Aj, entre Aj et A2, entre A2 et A3, ..., comme on l'a expliqué dans le numéro 476.

Alors à chaque état possible de la grandeur correspondra un nombre, à chaque nombre correspondra un étal de la grandeur : à des nombres plus grands correspondent des grandeurs plus grandes, à deux nombres égaux correspond la même grandeur.

4Sl.Ennn, la grandeur (G) peut n'être limitée ni dans un sens ni dans Faulre; tel est le temps, telle serait la température si on n'admettait pas l'existence du zéro absolu des physiciens : on choisira un état arbitraire Aq que Ton fera correspondre au nombre 0 et, pour les grandeurs plus grandes que Ae on procédera comme on vient de l'expliquer; mais on ajoutera à chaque nombre qui correspond à une grandeur plus grande que Aq les mots au-dessus de zéro. Pour les grandeurs (G) inférieures à Aq on pourra de même faire correspondre chacune d'elles à un nombre que Ton fera suivre des mois au-dessous de z^rOj mais de façon que si A', A'' sont deux états tels que Ton ait A' < A" < Aq, on ait a' > a", et non a' < a", en désignant par a', a" les nombres qui correspondent à A', A". On renverserait en quelque sorte la condition fondamentale.

Ce procédé de numérotage pour les grandeurs moindres que Aq est tout à fait pareil au procédé de numérotage relatif aux grandeurs supérieures à Aq ; il ne semble pas utile d'y insister : au surplus, l'Algèbre enseigne à remplacer les mots « au-dessus ou au-dessous de zéro » par d'autres symboles d'un usage beaucoup plus commode.

i$2. J'ai supposé jusqu'ici que de deux états distincts de la grandeur considérée, l'un était nécessairement plus grand que l'autre. Bien qu'étant distincts par quelques circonstances, deux états peuvent être regardés comme les mêmes. Quand on a parlé de longueurs, on a supposé qu'il s'agissait de longneui*s comptées sur une même droite à partir d'un même point. Deux longueurs rectilignes qui ne sont pas portées sur la même droite et qui, en ce sens, sont susceptibles d'être distinguées Tune de l'autre, peuvent cependant être égales : elles sont égales quand on peut faire

1. Si Ton n'imposait pas cette condition, on pourrait épuiser l'infinité des nombros entiers en s'approchant d'un état limito au delà duquel la graduation no pénétrerait pas.

coïncider Time avec TauLre. Les diverses sciences donnent, pour les diverses grandeurs dont elles s'occupent, des définitions de Tégalité. On enseigne, par exemple, en Physique, ce que c'est que deu* corps qui sont à des températures égales, ce que c'est qu'un corps qui est à une température plus grande qu'un autre corps. La définition de l'égalité et de Tinégalîté doit toujours satisfaire au:^ conditions suivantes, où A, B, G, ... désignent des états déterminés quelconques de la grandeur considérée.

La supposition A = B entraine la supposition B = A ; les suppositions A = G, B = G entraînent la supposition A = B; les suppositions A = B, ou A > B, et B > G entraînent la supposition A > G.

Lorsqu'une telle défînition de l'égalité (ou de l'équivalence) est possible, il est nécessaire d'admettre que la graduation de la grandeur considérée, sous les diverses formes qu*elle peut revêtir, est faite de manière qu'à des grandeurs égales correspondent toujours des nombres égaux, qu*à des nombres égaux correspondent, sinon la même grandeur, au moins des grandeurs égales (ou équivalentes). Les conditions imposées à la définition de l'égalité (ou de rét^uivalence) ont été choisies pour que cela soit possible.

§ 2. — Des g^randeurs directement mesurables.

483. Pour certaines grandeurs, outre la notion d'égalité, on a la notion d'addition. S'il en est ainsi et si l'on peut définir un mode de graduation de la grandeur tel qu'à la somme de deux grandeurs de l'espèce considérée corresponde la somme des deux nombres qui correspondent à ces deux grandeurs, il est clair que ce mode de graduation sera particulièrement avantageux.

On se borne souvent à l'étude des grandeurs de cette dernière espèce, parmi lesquelles il faut placer les longueurs reclilignes, les temps, les poids (ou plutôt les masses mesurées par la balance) : il convenait toutefois d'expliquer comment la notion de nombre s^applique à d'autres grandeurs. Au fond, en dehors des indications du thermomètre, on ne sait guère ce qu'est une température : l'addition de deux températures, en dehors de l'opération d'arithmétique qui consiste à ajouter des nombres de degrés, n'a pas de sens, et toutefois l'introduction du nombre que l'on fait correspondre d'une façon déterminée à la température est indispensable en Physique. L'intensité de la lumière d'une source lumineuse fournirait un exemple analogue.

4S4. Quoi qu'il en soit, je vais désormais m'occuper de grandeurs dont la notion recouvre exactement, en quelque sorte, la notion de nombre, et qui, ainsi, doivent jouir nécessairement des propriétés fondamentales des nombres.

Parmi les propriétés de ces grandeurs figurent d'abord celles qui ont été spécifiées au n" 482, et qui se rapportent à la signification des mots égal, plus grand, plus petit, puis celles qu'on va énoncer. Dans ces énonces, le

symbole (G) désignera Tespèce de la graudeur considérée et les lettres A, B, G,... désigneront des grandeurs déterminées de l'espèce (G) ; toutes ces propriétés sont impliquées par Thypothèse que voici : la grandeur (G) est susceptible d'une graduation dans laquelle à chaque nombre correspond une grandeur déterminée de Tespèce (G), ou des grandeurs égales ; à des nombres inégaux correspondent des grandeurs inégales, le sens des inégalités étant le môme ; à la somme de deux nombres a, b correspond la somme A4- B des grandeurs qui correspondent à ces nombres. Réciproquement, à chaque état de la grandeur (G) correspond un nombre, etc.

I. On sait ce que c'est qu'ajouter deux grandeurs de l'espèce (G) ; les définitions de l'addition et de l'égalité satisfont aux conditions suivantes :

si Ton a B = G, on a aussi A + B = A + G.

Il eu résulte que, dans une somme d'autant de termes que Ton veut, on peut intervertir l'ordre des termes et remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée.

H. On sait ce que c'est que la grandeur nulle d'espèce (G), grandeur que Ton fait correspondre au nombre 0, et que l'on représente par le même symbole 0. Sa définition doit satisfaire à la condition A-f-0 = A, à cause de la propriété correspondante des nomhres ; dans cet état niily la grandeur (G), qui ne modifie aucune grandeur de la même espèce à laquelle on l'ajoute, cesse, en quelque sorte, d'exister : telle est la longueur d'une ligne dont les deux extrémités coïncident.

III. Sic n'est pas la grandeur nulle, on a A-|-G>A;il résulte de cette condition 'que la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à A, reproduise A.

IV. Si l'on a A > B, il existe une grandeur G, non nulle, telle que l'on ait A = B + C.|

V. Si A n'est pas la grandeur nulle, quelle que soit la grandeur 6, il existe un nombre entier m tel que l'on ait wA > B : dans le premier membre de cette inégalité, mA'représente la somme de m grandeurs égales à A : cette somme s'appelle aussi le produit de A par m. Cette supposition, que l'on appelle souvent axiome d'Archimèdej est nécessitée par le théorème du n" 2i I , relatif aux nomhres.

VI. Si m est un nombre entier, autre que 0 et i, quelle que soit la grandeur B, il existe une grandeur A telle que l'on ait mk = B, c'est la m**""»^ partie de B : en d'autres termes, on peut diviser B en m parties égales.

Il est à peine utile de répéter encore une fois que toutes ces suppositions^ calquées sur des propriétés bien connues des nombres, sont nécessaires pour que la correspondance décrite au commencement de ce numéro entre les nombres, d'une part, et les divers états de la grandeur (G), d'autre part, soit possible.

485. Invei'sement, si la grandeur (G) jouit de ces propriétés et d'une autre encore dont on parlera plus tard, il sera possible de réaliser une

graduation lelle que celle que Ton a décrite au commencement du numéro précédent.

Tout d'abord, on voit que les hypothèses relatives à la signification des mots : plus grand, plus petit, à Taddition, à l'existence de la dlfTérence entre deux grandeurs impliquent de suite les conclusions suivantes.

En ajoutant à deux grandeurs égales A, B des grandeurs inégales G, D, on obtient des grandeurs inégales : supposons en effet G > D, il existera une grandeur E, non nulle, lelle que Ton ait G = D -}- E; dès lors on aura

en vertu de la supposition III, la grandeur (B + I^) + E, ou A + G, est plus grande que B -|-D; il résulte de là que la différence entre les deux grandeurs est unique, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une grandeur déterminée qui, ajoutée à une grandeur plus petite qu'une autre, puisse reproduire celle dernière. Dès lors les théorèmes fondamentaux établis pour les sommes et différences de nombres entiers s'étendent aux grandeurs, ainsi que les théorèmes sur l'addition, membre à membre, des inégalités. Il suffit presque de signaler les égalités

n (A -t- B + C + ...) = nA + nB + nG + ...,

(n + p + q+ ...) A=nA-t-pA +gA + --,

{mn) A = m (nA),

qui sont des conséquences immédiates des suppositions (I) relatives à Taddition ; les petites lettres tn,n,p,(/, ... y désignent des nombres entiers. La première, par exemple, veut dire qu'on obtient la même chose en faisant la somme de n grandeurs égales à A 4- B -f C + ••-, ou en groupant ensemble, dans cette somme, les n grandeurs égales à A, les n grandeurs égales à B, etc., et en ajoutant ensuite les résultats. En la rapprochant de la supposition IV, elle montre que l'on peut multiplier par un même nombre entier les deux membres d'une inégalilé entre des grandeurs. La troisième a été obtenue en supposant que dans la seconde figuraient m nombres entiers n, p, g,... tous égaux à n; elle veut dire que la somme de mn grandeurs égales à A est égale à la somme de m grandeurs dont chacune est égale à n fois A.

486. Eu vertu de la supposition V, si l'on considère la suite de grandeurs en progi'csswn anihmHique

obtenue en ajoutant à elle-même la grandeur déterminée non nulle A, on finit par trouver dans celte suite des termes qui dépassent telle grandeur B que Ton voudra; on peut dire encore qu'une grandeur déterminée B de l'espèce considérée tombe entre deux termes de cette suite ou coïncide avec l'un de ces termes : si deux grandeurs B, G ne comprennent entre elles aucun terme de cette suite, elles coïncident avec deux termes censé-

cutifs on sont comprises entre deux termes consécutifs; leur différence est au plus égale à Â.

Ceci posé, essayons de graduer la grandeur (G) de manière à satisfaire aux conditions du n" 484. Choisissons arbitrairement une grandeur Âj, autre que la grandeur nulle, et faisons-lui correspondre le nombre i ; Ai sera Funité de grandeur de l'espèce (G) : une fois cette unité choisie, toute la graduation est déterminée. Aux nombres 1, 2, 3, 4, ... devront correspondre les grandeurs

dont les termes finissent par dépasser telle grandeur de l'espèce (G) que l'on voudra : ainsi, au delà de chaque grandeur, il y a des grandeurs numérotées au moyen de nombres entiers.

tô7. Considérons maintenant une fraction de la forme -, où a est un

nombre entier; par hypothèse on peut diviser la grandeur A, en q parties

égales : en d'autres termes il y a une grandeur B telle que Aj soit la somme

de n grandeurs égales à B ; il n'y en a qu'une, car les produits par q de deux

grandeurs inégales sont des grandeurs inégales ; cette grandeur B, la (jf'*™*^