X -=^ — a'a*~* (mod

En particulier, si b était premier, on pourrait prendre, en vertu du théorème de Fermât lui-même,

0? = — a'a*~* (mod. 6).

.^ 4. — IVonvelle démonstration du théorème de Fermât. Théorème de Wilson. Restes quadratiques.

$16. Revenons au théorème de Fermât pour en présenter la démonstration sous une autre forme, qui va nous conduire à des conséquences nouvelles et importantes.

Soit p un nombre premier plus grand que 2 et a Tun des nombres ^ 2) ..., p — 1 ; soit D un nombre quelconque, non divisible par p.

La congruence

a.r=D (mod.p)

admet une racine, puisque p est premier à a; cette racine, ne pouvant être 0» est congrue (mod. p) à l'un des nombres 4, 2, ..., p — 1 ; il y a donc parmi ces nombres un nombre a' et un seul tel que Ton ait

aa' ^ D (mod. p).

éno LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

Ce nombre a' peut élre égal au nombre a ou dilTérent ; s*il lui est égal,

c*est que l'on a

a' = D (mod, p)

et que, par conséquent, la congrucnce du second degré

œ» ^ D (mod. p) admet une solution a.

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter.

1" Le nombre D est tel que la congruence

a;s = D (mod. p)

ne puisse pas être vérifiée; s'il en est ainsi, les nombres a, a' pris parmi les nombres 1, 2, ..., p — 1 sont certainement différents et cesp — i der-

niers nombres peuvent être séparés en ^--^ — couples tels que le produit de

deux nombres pris dans un même couple soit toujours congru à D (mod. p); dans ce cas, on a