p — i) = — l (mod.p

Ce dernier résultat subsiste même si p est égal à 2. Donc : Si p est un nombre premier y le nombre

i.2.3...(p— i) + { est divisible par p.

Par exemple, le nombre 1.2.3.4 + 1 = 25 est divisible par 5.

Le théorème que Ton vient d'énoncer est connu sous le nom de théorème de Wilson. II offre ceci d'intéressant qu'il donne un moyen, plus théorique d'ailleurs que pratique, pour reconnaître si un nombre est premier ou non. En effet, si p n'est pas premier, il admet un diviseur p' plus petit que lui, diviseur qui est certainement l'un des nombres I, 2, ..., p — 1, qui divise doue le produit de ces nombres et qui ne peut diviser, non plus que p, la somme 1.2.3...(p — 1) + 1. Si donc le nombre p divise cette somme, c'est qu'il est premier.