D « +1)(D * -1) =IF

est certainement divisible par p; donc, pourvu que D ne soit pas divisible par p, on a

D/»-i«1^0 (mod.p).

m LBÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

C'est Je théorème de Fermai : il est démontré à nouveau, en supposant p > 2 ; il subsiste évidemment pour p = 2.

518. Prenons D = — i, le nombre ( — 1) * est égal à + 1 ou à — 4,

suivant que ^-— ^ — est pair ou impair, ou, comme Ton dit, suivant que p

est de la forme de 4n + 1 ou de la forme de 4m + 3. Dans le premier cas, la congruence

œ' + 1 = 0 (mod. p)

est possible ; dans le second cas, elle est impossible.

En d'autres termes, s\p est un nombre premier de la forme 4n -f- 1, il y a un nombre entier x tel que x' + 1 soit divisible par p ; si au contraire p est 8e la forme 4n + 3, a?* + 1 n'est jamais divisible par p quel que soit le nombre entier x. C'est là une proposition qui se rattache à un beau théorème d'Arithmétique que je me contente d'énoncer :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre premier impair soit la somme de deux carrés est que ce nombre soit de la forme 471 + i.

519. Nous avons rencontré, chemin faisant, une règle pour reconnaître s'il était, ou non, possible de satisfaire à la congruence

a?*^D (mod. p),

où p est un nombre premier impair.

Les nombres D, non divisibles par p, pour lesquels celte congruence est possible, ou, si Ton veut, les nombres D qui sont congrus (mod. p) au reste du carré d'un nombre entier, suivant le même module, s'appellent restes quadraliquea de p. Les nombres D pour lesquels cette congruence est impossible s'appellent non-rentes quadratiques de p, ou, plus brièvement, nonrestes.

Pour reconnaître, lorsque Ton se donne le nombre D non divisible par

p, si la congruence est possible, on pourra, au lieu d'appliquer la règle

précédente, former les carrés des nombres 1, 2, ..., p — 1 et chercher ceux

qui sont congrus à D (mod. p) ; il est inutile d'aller plus loin (n** 501), à

cause de la périodicité des restes (mod. p) des termes de la suite que l'on

obtient en remplaçant, dans x^y x par la suite des nombres entiers. Il suffira

p — 1 même de former la suite des carrés des nombres 1,2, ..., ^—r — , caries

carrés de deux nombres a et p — a étant congrus (mod. p), la suite des

carrés des nombres suivants

"â '" ^' ^~9 '" ^' •••' ^ — * reproduirait

les restes précédemment obtenus en ordre inverse. Quant aux carrés des

» — 1 nombres 1,2,..., ^—^ — , ils sont certainement incongrus, puisque, comme

on Ta VU au n"" 51 6, les carrés de deux nombres pris dans la suite 1,2, ...,p — 1

RESTES QUADRATIQUES. 473

ne peuvent être congrus (mod. p) que si leur somnie est égale à p, Ainèi, les restes (mod. p) des nombres

restes qui sont tous distincts, seront les seuls termes de la suite 1, 2, ..., p— i qui soient restes quadratiques de p; les autres seront non-restes. 11 y

a donc, parmi ces nombres, ^—^ — restes quadratiques et ^^ — non-restes .

Par exemple, si p = 17, les restes quadratiques sont congrus (mod. 17) à

1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16; les non-restes sont congrus à 3, 5, 6, 7, 10, H,

520. Ce que Ton vient de dire des nombres 1, 2, ..., p — 1 s'applique

manifestement à un système complet de nombres incongrus suivant le

module p, d'où Ton aurait exclu le nombre divisible par p; dans un

tel système, il y a ^—5 — restes quadratiques, i— - — non-restes. Soient

fli, a«, ..., a^j les restes quadratiques pris dans un tel système, et

T" 61, 6„ ..,, 6;,i les non-restes.

Le produit de deux restes quadratiques ou de deux non-restes est un reste quadratique ; le produit d'un reste quadratique par un non-reste est un non-reste.

Soit en eflet a un nombre entier non divisible par p ; la suite des nombres obtenus en remplaçant x dans aœ par les éléments d'un système de p — 1 nombres incongrus entre eux et à zéro (mod. p), forme un pareil système, car (n" 505) si l'on substituait à la place de x tous les éléments d'un système complet de nombres incongrus (mod. p), y compris le nombre divisible par p, on reproduirait un pareil système et il est clair que c'est l'élément divisible par p du premier système qui engendrerait l'élément divisible, parp du second système. Par conséquent, parmi les nombres

■ '^ y * ^ — restes quadratiques et -^-^ — non restes.

Or, la première partie du théorème est évidente : si a, p sont des restes quadratiques, il y a des nombres entiers x, y tels que l'on ait

.T* - «, y*=p (mod.p):

on aura donc

{xy)^ H- «p (mod. p)

et «p est bien un reste quadratique.

Si donc a est un reste quadratique,

"T" sont aussi des restes quadratiques, et par suite les ^--^ — nombres restants

a6|, ab^i ... , abp—i

sont des non-restes : donc le produit d'un reste quadratique par un nonreste est un non-reste.

Si maintenant a est un non-reste, les nombres

a^i, aa^, ... , aup^i

sont des non-restes, on vient de le démontrer; donc les nombres

a6i, a&2i ••• f abp — i

sont des restes quadratiques; en d'autres termes, le produit d'un non-reste par un non-reste est un reste quadratique.

Ces propositions, que Ton vient d'établir directement, résulteraient sans aucune difficulté du caractère (n'^SfT) auquel on reconnaît qu'un nombre D est reste quadratique ou non-reste.

Si, par exemple, a, b sont non-restes, on a

a ^ H^ — 1, 6* = — i (mod. p),

et par suite

a * 6 2 = {ab) ^ ^ (— i) (— i) ^ i (mod. p),

donc ab est un reste quadratique de p. Je ne me suis occupé de la recherche des solutions de la congruence

x^ -=- D (mod. p)

que dans le cas où le module est un nombre premier impair. C'est que, en effet, les autres cas se ramènent à celui-là, comme il résultera facilement de théorèmes généraux dont je renvoie l'énoncé et la démonstration an § 7.

§ 5. — Loi de réciprocité.

521. Étant donné un nombre premier impair, p, il n'y a, comme on vient de le voir, aucune difficulté à déterminer les nombres D qui sont restes quadratiques de p; le problème inverse, « étant donné un nombre D, reconnaitre quels sont les nombres premiers impairs dont D est reste quadratiquey ou ceux

pour lesquels D esl non-reste »« est beaucoup plus difficile: sa solution repose sur un des théorèmes les plus beaux et les plus importants de TArithmétique, théorème connu sous le nom de loi de réciprocité', il a été découvert par Euler et par Legendre. 11 n'a été entièrement démontré que par Gauss, qui n'en a pas donné moins de six démonstrations distinctes. Ce théorème a depuis été Tobjet de beaucoup d'au 1res travaux.

Avant d*y arriver, je donnerai d'abord une transformation du caractère qui permet de reconnaître si D est, ou non, reste quadratique de p (n** 517)* Cette ti>ansformation est due à Gauss.

522. Désignons toujours parp un nombre premier impair positif et par D

p — 1 un nombre entier non divisible par p; considérons les nombres

incongrus (mod. p)

qui sont tous premiers àp; représentons Tun quelconque de ces nombres par aD et considérons leurs restes minima (mod. p); aucun n'est nul. Désignons par ai, oc,, ..., «^ ceux de ces restes minima qui sont posilifs, par

— Pi» — Pi, ..., — P}* ceux qui sont négatifs. On aura X + i* = ^ «

Puisque tous les nombres D, 2 D, ..., — 5— D sont incongrus (mod. p),

tous les nombres «., «», ..., «x, d'une part, pi, Pt^ ..., Pji, de l'autre, sont distincts. Deur nombres pris, l'un dans la première suite, l'autre dans la seconde, ne peuvent non plus être égaux; pour qu'il en fût ainsi, en effet, il

faudrait que la somme de deux des nombres D, 2D, ..., ^— r — D fût divisible par le nombre premier p; or une pareille somme s'obtient en multipliant D, qui n'est pas divisible parp, par un nombre moindre que p. Les nombres «,, a,, ..,, «îl, P,, P2, P,* pris dans leur ensemble ne sont donc autre

chose que les nombres i, 2, ..., ^—5 — , puisque chacun d'eux doit être égal à quelqu'un de ces nombres, qu'ils sont tous distincts et qu'ils sont au nombre de ^^- Or les nombres D, 2D, ..., ^-g""^ ^^^"^ respectivement congrus (mod. p) aux nombres «,. *2, ..., *î^> — Pi» — Pi» •••» — P«* pris dans un ordre convenable, on a