FRACTIONS GÉNÉRALISÉES

permet, quels que soient les nombres A, B, C, pourvu que B ne soit pas nul, de remplacer Tégalité

AXB = C par Fégalité

ce que la notation des nombres entiers ne permet que lorsque C est divisible par B, et ce que la notation des fractions ordinaires ne permet que lorsque B et C sont entiers.

Par exemple, on a démontré au n® 70, que le double dé la somme des termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de la progression : la démonstration faite dans le cas des nombres entiers s'étend de suite au cas des nombres fractionnaires. Maintenant nous pouvons dire : la somme des termes d*une progression arithmétique est égale à la moitié du produit de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de cette progression.

De même, en supposant topjours que B ne soit pas nul, Tune quelconque des deux inégalités

AXB>C, A>g,

pourra remplacer Tautre et ce simple énoncé contient les propositions suivantes : on peut diviser ou multiplier par un même nombre, sans en changer le sens, les deux membres d'une inégalité. Appliquons cette remarque aux propositions qui suivent.

211. Ëtant donnés un nombre a, aussi petit qu'on le veut, et un nombre A, aussi grand qu'on le veut, on peut trouver un nombre entier m tel que le produit de a par m, ou par un nombre plus grand, soit supérieur h, A.

On veut avoir aiu>> A, ou, puisque a n'est pas nul,

La plus petite valeur de m, qui satisfait à cette inégalité, sera le

nombre entier immédiatement supérieur à la valeur de -, nombre

entier que Ton a appris k déterminer au n® 193.

Ëtant donnés un nombre A, aussi grand qu'on le voudra, et un

nombre a, aussi petit qu'on le voudra, mais non nul, on peut trouver un nombre entier m, tel que le quotient (exact) de A par m, ou par un nombre plus grand, soit inférieur h, a.

Cette proposition ne diffère pas de la précédente ; Tune et Tautre sont une conséquence immédiate du n° 193, sauf pour ce qui concerne les notations.