Étant données phisieurt fractions

? ?! fl' *' b'' b"

rangées par ordre de grandeur croissante^ c'est-à-dire dans un ordre tel que chaque fraction soit au moins égale à celle qui la précède, la fraction

dont le numérateur est la somme des numérateurs et le dénominateur la somme des dénominateurs, est comprise entre la plus petite et la plus grande des fractions proposées, si celles-ci ne sont peu toutes égales ; dans ce dernier cas, elle leur est égale.

Désignons, en effet, par q, q', y" les valeurs des fractions proposées, on a

a = bq, a' = b'q', o'' = b"q"\ on a d'ailleurs, par hypothèse,

et, par conséquent,

a^bq a'>b'q a">b"q\

il n'y a partout le signe == que dans le cas où toutes les fractions proposées auraient la même valeur q. En ajoutant, on obtient

et Ton ne peut avoir le signe = que dans le cas oCi toutes les fractions proposées auraient la même valeur q. Cette inégalité entraine la suivante :

bJ^b'-^V'^^'

On démontrerait de même Tinégalité

Observons qu'avant d'ajouter les numérateurs et les dénominateurs, on aurait pu multiplier les deux termes de chaque fraction par un même nombre différent de zéro; ainsi en supposant les nombres m, m', m" dififérents de zéro, on peut dire que la fraction

ma + m'a! + m"a"

mb + m'b' + m"b"

est comprise entre les fractions t» 777 si ces fractions ne sont pas

égales; dans ce dernier cas, elle est égale aux trois fractions proposées.

Si on considère par exemple les deux fractions — 1 t « dont la

a A- m première est égale & l'unité, on voit que la fraction r— 7 — est

comprise entre 7 et un, en d'autres termes elle est plus voisine

a de un que ne l'est 7 : donc, si le numérateur d'une fraction est plus

petit que son dénominateur, on augmente cette fraction en ajoutant

un même nombre à ses deux termes; on la diminue au contraire, si

le numérateur est plus grand que le dénominateur; on ne la change

pas si le numérateur est égal au dénominateur.

§ 5. — Proportions. — Nombres proportionnels.

213. On appelle proportion l'égalité de deux rapports, ou, si l'on Teut, de deux fractions ordinaires ou composées. Les égalités

(fo)

sont des proportions entre les nombres 3, ^, 6, 4 d'une part, entre

la? LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

5 7 les nombres ^^ r^r, 25, 28 de Tautre. Nous supposerons esseniielle-

o lu

ment dans ce qui suit qii*aucun des rapports considérés et, par

conséquent, aucun de leurs termes n'est nul.

Dans la proportion

les termes de la proportion sont les nombres a, 6, a\ V : le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la deuxième fraction s'appellent souvent les extrêmes, le dénominateur de la première fraction et le numérateur de la deuxième fraction s'appellent souvent les moyens. Ces dénominations proviennent d'une façon d'écrire qui a été longtemps usitée, & savoir :

qui s'énonçait ainsi : a est à 6, comme a! est à 6'. Dans l'expression est à, il faut faire entrer l'idée de rapport.

214. Dans toute proportion le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

C'est-à-dire que, si l'on a

ab'

on a aussi

C'est en effet la condition d'égalité des fractions. Réciproquement étant donnés quatre nombres différents de zéro tels que le produit de deux d'entre eux soit égal au produit des deux autres, ces quatre nombres forment une proportion, que l'on peut écrire de diverses manières, en s'arrangeant toujours pour que les deux facteurs qui entrent dans un des produits soient les extrêmes, et les deux facteurs qui entrent dans le produit égal soient les moyens.

Si, par exemple, entre les quatre nombres non nuls a, 6, a\ b' on on a la relation

ab' = a'ù.

on aura

Inversement, Tune quelconque des quatre proportions qu'on vient d'écrire entraîne les trois autres, puisqu'elle entraine la relation ob' ^=a!b» C'est ce que Ton exprime souvent en disant que dans une proportion on peut intervertir les moyens ou les extrêmes.

Si Ton connaît trois des termes d'une proportion, on peut calculer le quatrième.

Ainsi, si Ton sait que les quatre nombres a, 6, a', b' doivent former la proportion

et si Ton connaît les nombres 6, a', b' il est aisé d'obtenir a : de la relation

ai' = a'*, on tire en effet