FRACTIONS

iM. Trouver les solutions en nombres entiers de l'équation

4 a? = z (2a: -f 2 y — xy).

On observera tout d*abord que les nombres entiers x, y doivent être moindres que 6, sauf dans le cas où Ton supposerait a: = 2.

(Cette question se présente quand on se propose de partager la surface d'une sphère en polygones réguliers et égaux.)

182. P, a, 6 étant des nombres entiers premiers entre eux deux à deux, et P étant

p inférieur au produit ahy démontrer que Ton peut mettre la fraction -r- et cela

d'une seule façon, sous la forme — h'r * > et p étant des nombres entiers respec-

tivement moindres que a et b.

183. P, a, 6, c, ... étant des nombres entiers premiers entre eux deux à deux,

démontrer que la fraction -7 — peut se mettre, et cela d'une seule façon, sous

abc . . .

la forme

abc

n étant un nombre entier, et a, p, Yi — àes nombres aussi entiers, dont aucun n'est nul, et qui sont respectivement moindres que a, 6, c, ... . p

184. Soit — une fraction irréductible dans laquelle le dénominateur est une puis-

saoce d'un nombre entier, autre que 1. Démontrer que cette fraction peut être mise sous la forme

» -f 1 : H ; -t- ... + -l-iî

a« a«-* fl*-' a

n étant un nombre entier, ainsi que les nombres Oo, ai, .... a«.i; ces nombres sont tous plus petits que a; le nombre Oq ne peut être nul.

185. En supposant que le dénominateur d'une fraction irréductible, décomposé en facteurs premiers, soit a* 6P ci ..., où a, 6, n, ... sont des nombres premiers distincts, démontrer que cette fraction peut, et cela d'une seule façon, être mise sous la forme

+ fi + -£l + ... + f^

c^ cT-* c

n étant un nombre entier; les nombres a^ ai, ..., a^^ étant entiers et plus petits que a; les nombres ^e, 6|, ... b^^, étant entiers et plus petits que 6, etc. Les nombres a,, 6„ c,, ... ne sont jamais nuls.

Takmbet. 13

186. - étant une fraction à termes entiers, plus petite que un, on a, en désignant b

par q et ai le quotient et le reste de la division de 6 par a,

a 1 fl — fli

1 fpflPtinn

L^emploi répété de cette égalité permet de mettre la fraction -r sous la forme

en désignant par ç, 9'i9'', ••• des entiers, en nombre limité, qui vont en croissant (V.

187. En conservant les notations de l'exercice précédent, montrer que l'égalité

b q bq

permet de mettre la fraction -t sous la forme

où il faut prendre dans les deux derniers termes les signes supérieurs ou les signes inférieurs suivant que n est impair ou pair, et où q^, (jr„ 7^, ... , <7k i, 7» désignent

des nombres entiers croissants qui satisfont à la condition y^ ^ çj^j + 9^i pour

les valeurs 1, 2, ... , n attribuées à l'indice p.