Les carrés des neuf premiers nombres

se trouvent dans la table de multiplication; ils sont :

Au lieu de continuer cette table par une suite de multiplications, on emploiera le procédé suivant qui est beaucoup plus rapide.

Écrivons la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, ... et audessus, la suite des nombres impairs, de cette façon :

1, O, D, i, «7, il, Iv, •*•

Si Ton considère un nombre quelconque a -f- 1, de la suite 1, 2, 3, 4, ..., autre que 1, on voit que le nombre impair écrit au-dessus de lui est précisément 2a -f- 1. Le carré de 1 est 1 ; d'après la règle précédente, le carré de 2 = 1 + 1 s'obtiendra en ajoutant à 1 le nombre impair qui est au-dessus de 2, ce qui donne 4 ; le carré de 3 = 2 + 1 s'obtient en ajoutant à 4 le nombre impair 5 qui est au-dessus de 3, ce qui donne 9; le carré de 4 s'obtient en ajoutant 7 à 9 ; le carré de 5 s'obtient en ajoutant 9 à 16; par une suite d'opérations pareilles on formera une table de carrés s'étendant aussi loin qu'on le voudra. — En réfléchissant un peu sur cette règle, le lecteur reconnaîtra sans peine que le carré d'un nombre entier quelconque a est la somme des a premiers nombres impairs.

C'est en appliquant cette règle que Ton a construit la Table II, qui donne les carrés des 99 premiers nombres et que l'on trouvera à la fin du volume.

L'examen de cette table montre que les carrés des nombres entiers vont en augmentant rapidement.

Les nombres inscrits dans cette table sont des carrés parfaits : les nombres compris entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs n'ont pas de racine carrée exacte : tel est 8972 qui est compris entre 8836 = 94* et 9025 = 95^

§ 2. — Extraction de la racine carrée.

282. On appelle racine carrée d'un nombre A à une unité près, par défaut y le plus grand nombre entier dont le caiTé soit inférieur ou égal à A. Ainsi 7 est la racine carrée à une unité près, par défaut, de 53, parce que Ton a

on peut dire encore que la racine carrée à une unité près, par défaut, de A est la racine carrée (exacte) du plus grand carré contenu dans A : ainsi 49 = 7* est le plus grand carré contenu dans 53; 7 est la racine carrée à une unité près, par défaut, de 53. La racine carrée à une unité près, par excès, de A est le plus petit nombre entier dont le carré soit supérieur à A. Ainsi 8 est la racine carrée à une unité près, par excès, de 53.

Si a est la racine carrée à une unité près, par défaut, de A, a -|- 1 est la racine carrée à une unité près, par excès. Dans le présent paragraphe, où il s'agit de nombres entiers, en parlant de la racine carrée d'un nombre, j'entendrai toujours soit la racine carrée exacte, s'il y en a une, soit la racine carrée à une unité près, par défaut : il y a là une ambiguïté analogue à celle que comporte le mot quotient (n® 202) ; le lecteur prévenu ne pourra s'y tromper. Par exemple, 29 est compris entre 25 = 5* et 36 = 6* ; 5 est la racine carrée (à une unité près par défaut) de 29. Trouver la racine carrée d'un nombre, c'est extraire la racine carrée de ce nombre.