Soit a la racine carrée de A, on a
la différence A — a* prend le nom de j^este.Ce reste est plus petit que la différence (a -f- 1)* — a* qui est égale à 2a + 1. Réciproquement, si les deux nombres entiers a et A sont tels que l'on ait
a»<A, A — a*<2fl + l,
a est la racine carrée de A, car la dernière inégalité entraîne la suivante :
A<a« + 2a + 1 ou (a + i)\
Un nombre entier quelconque est égal au carré de sa racine carrée, augmenté du reste.
284. Lorsqu'un nombre entier est inférieur à 100, sa racine carrée
Tankkrt. 17
est inférieure à 10 et la connaissance des carrés des neuf premiers nombres suffit ài la déterminer.
Lorsqu'un nombre entier est égal ou supérieur à 100, sa racine carrée comprend des dizaines et des unités. Si le nombre était inférieur à 10000, la table des carrés permettrait d*obtenir sa racine carrée ; mais on veut donner maintenant un procédé pour obtenir cette racine, qui s'applique dans tous les cas. Le carré de la racine carrée se compose du carré des dizaines, qui est un nombre exact de centaines, du double produit des dizaines par les unités, qui est un nombre exact de dizaines, et du carré des unités : en ajoutant le reste, on doit reproduire le nombre proposé. On aperçoit de suite que le carré du nombre de dizaines de la racine est un carré contenu dans le nombre de centaines du nombre proposé ; c'est le plus grand carré contenu dans ce nombre de centaines, ainsi qu'il résulte du théorème suivant :
Ze nombre de dizaines de la racine carrée d'un nombre entier A est la racine carrée du nombre de centaines de A.
Si en effet la racine carrée de A contient 13 dizaines et ne contient pas 14 dizaines, c'est que A contient le carré de 13 dizaines et ne contient pas le carré de 14 dizaines. Or, le carré de 13 dizaines est un nombre exact de centaines, nombre égal à 13'; le carré de 14 dizaines est un nombre exact de centaines, nombre égal à 14'; le nombre de centaines de A contient donc 13', sans contenir 14'; sa racine carrée est 13.
Ce théorème ramène la recherche du nombre des dizaines de  à la recherche de la racine carrée d'un nombre contenant deux chiffres de moins que A.
285. Si l'on sait obtenir cette racine, il n'est pas malaisé ensuite d'obtenir le chiffre des unités.
Supposons que le nombre des dizaines de la racine soit 13 et soit b le chiffre des unités : A est la somme de quatre nombres : l"" le carré de 130; 2* le double du produit de 130 par & ; 3* le carré de b; 4® le reste.
La différence A — 130' ne contient plus que les trois derniers nombres; elle contient en particulier le double du produit de 130 par b : si donc on la divise par le double de 130, on aura pour quotient entier 6, ou un nombre plus grand que b. Le double de 130 s'obtient en multipliant par 10 le double 26 de 13. Pour obtenir le quotient entier de A — 130* par 26 X 10, on peut faire l'opératioD en deux fois (n® 104) : chercher le quotient entier de la division de A — 130* par 10, ce qui se fait en séparant un chiffre à la droite de
A — 130', puis diviser le nombre ainsi obtenu par 26. On parvient donc au théorème suivant :
En retranchant d'un nombre A le carré des dizaines de sa racine carrée j en supprimant un chiffre à la droite de la différence, puis en divisant le nombre ainsi obtenu par le double du nombre des dizaines, on obtient comme quotient entier un nombre égal ou supérieur au chiffre des unités de cette racine»
Remarquons, en conservant toujours les mêmes hypothèses, que A — 130^ se forme en retranchant 13' du nombre de centaines de A et en faisant suivre la différence des deux derniers chiffres de A : en effet 130* est égal à 13» X 100.
Supposons maintenant que, en divisant par 26 le nombre des dizaines de A — 130», on trouve comme quotient 7; pour savoir si 7 est bien le chiffre des unités, on pourra former le carré de 137 : si ce carré est inférieur ou égal à A, 7 est le chiffre cherché. Si Ton a A<137S on essaiera 6 en formant le carré de 136; si Ton a A> 136», 6 est alors le chiffre des unités; si Ton avait A < 136*, on essaierait 5 de la même façon, etc.
Pour faire ces essais, il convient de profiter de ce que l'on a effectué la différence A — 130». Par exemple, si Ton veut essayer 7, on écrira 7 à la suite du double du nombre des dizaines de la racine et l'on multipliera par 7 le nombre 267 = 2 x 130 + 7 ainsi formé ; le produit est 2 X 130 X 7 + 7», et, si Ton y ajoutait 130», on aurait le carré de 137 ; par conséquent on aura ^
A ^137», ou A<137»
suivant que Ton aura
A — 130»^267x7, ou A — 130» < 267x7.
On voit aussi que, si Ton est dans le premier cas, c'est-à-dire si 7 est bien le chiffre des unités de la racine, pour avoir le reste, A — 137», il suffira de retrancher 267x7 de A — 130». Si cette soustraction était impossible, on essaierait de retrancher 266 X 6, puis 265 X 0, ... etc., en baissant à chaque fois d'une unité le chiffre à essayer.
La première fois que la soustraction sera possible, le chiffre essayé sera le chiffre que l'on cherche et le résultat de la soustraction sera le reste, dans l'opération de la racine carrée.
Il est à peine utile de dire que si, en faisant la division, on trouvait un quotient supérieur à 9, c'est le chiffre 9 que l'on commencerait par essayer.
286. Si Ton procède comme on vient de Texpliquer, on parviendra sûrement au chifiFre des unités; mais on est quelquefois tenté, pour aller plus vite, de diminuer le chiffre à essayer de deux, trois, ... unités. Il est nécessaire alors d'avoir une règle pour reconnaître si le chiffre qu'on a essayé n'est pas trop faible. On applique la condition du n® 283.
Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé 7 comme quotient et qu'on veuille essayer de suite le nombre 5 ; 5 sera le chiffre des unités si le produit 265 X 5 peut se retrancher de A — 130* et si la différence est inférieure à 135 X 2 -f-l» c'est-à-dire au double du nombre que Ton suppose être la racine, augmenté d'une unité : si la différence était égale ou supérieure à 135x2 + 1, le chiffre 5 serait certainement trop faible.
287. Supposons par exemple qu'on veuille extraire la racine carréo de 63917233; le nombre de dizaines de la racine sera la racine carrée de 639172, nombre de centaines de 63917235, et si l'on avait ce nombre de dizaines, on obtiendrait le chiffre des unités de la façon qui vient d'être expliquée.
On est donc ramené à chercher la racine carrée de 639172; le nombre de dizaines de cette racine est la racine carrée de 6391 : le nombre de dizaines de la racine de 6391 est la racine carrée de 63; cette racine est donnée par la table de multiplication, elle est 7. Pour avoir lé chiffre des unités de la racine carrée de 6391, on commencer^, par retrancher de ce nombre le carré de 7 dizaines, ce qui se fera en retranchant de 63 le carré de 7 et en faisant suivre la différence 14 des chiffres 91, ce qui donne 1491. En séparant le dernier chiffre à droite on obtient 149; on divisera ce nombre par le double de 7, c'est-à-dire par 14; le quotient entier est 10; le chiffre des unités de la racine carrée de 6391 est donc 9, ou un chiffre moins fort; pour essayer 9, on place ce chiffre à la suite du double de 7 et on multiplie par 9 le nombre 149 ainsi formé : le résultat est 1341, qui peut se retrancher de 1491, la différence est 150; 9 est le chiffre des unités de la racine carrée de 6391 ; cette racine est 79 et le reste est 150.
79 est le nombre de dizaines de la racine carrée de 639172. Pour avoir le chiffre des unités de cette racine, on commence par retrancher de 639172 le carré de 79 dizaines ; pour cela, il suffit de faire suivre des chiffres 72 la différence 150 entre 6391 et le carré de 79: on obtient ainsi 15072. On sépare un chiffre à droite et on divise 1507 par le double de 79, c'est-à-dire par 158; le quotient entier est 9; 9 est le chiffre des unités de la racine carrée de 639172, ou un
chiffre trop fort. Pour essayer 9, on place ce chiffre après le double de 79 et Ton multiplie par 9 le nombre 1589 ainsi formé ; le produit, qui est égal à 14301, peut se retrancher de 15072 et la différence est 771 ; 9 est le chiffre des unités de la racine de 639172; cette racine est 799 et le reste est 771.
799 est le nombre de dizaines de la racine carrée de 63917235. On retranchera de ce nombre le carré de 799 dizaines, ce qui se fait en plaçant les deux derniers chiffres 35 du nombre proposé à la suite de 771. On divise ensuite 7713 par le double de 799, c'est-àdire par 1598; le quotient entier est 4; 4 est le chiffre des unités de la racine carrée de 63917235, ou un chiffre trop fort; pour essayer 4 on place ce chiffre à la suite du double de 799 et Ton multiplie par 4 le nombre 15984 ainsi formé; le produit 63936 peut se retrancher de 77135; la différence est 13199; 4 est le chiffre des unités de la racine de 63917235; cette racine est 7994 et le reste est 13199. On yérifie le résultat en constatant que si Ton ajoute ce reste au carré de 7994, c'est-à-dire à 63904036, on reproduit bien le nombre proposé 63917235.
Le raisonnement est général et il suffira d'énoncer la règle suivante, dans laquelle on a fait d'ailleurs entrer l'explication de la façon dont on dispose les calculs : le lecteur voudra bien suivre ces explications sur le tableau (p. 263) qui donne le détail des calculs pour l'extraction de la racine carrée de 63917235.
288. Règle. — Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier, on écrit ce nombre sur une ligne horizontale, en laissant de la place à droite et en dessous. A droite du nombre on figure un angle droit, dont le petit côté est vertical, le grand côté horizontal ; c'est à l'intérieur de cet angle que l'on placera, au fur et à mesure, les chiffres de la racine carrée. On sépare le nombre en tranches de deux chiffres, en allant de droite à gauche, la dernière tranche ainsi obtenue peut n'avoir qu'un seul chiffre. En parlant désormais de ces tranches, on supposera qu'on les parcourt au contraire en allant de gauche à droite, en sorte que c'est la première qui peut n'avoir qu'un seul chiffre.
On calcule successivement les racines carrées des nombres formés par la première tranche, les deux premières, . les trois premières tranches, etc., jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les tranches; j'appellerai reste partiel correspondant à chaque opération le reste relatif à cette opération, c'est-à-dire la différence entre le nombre dont on a extrait la racine et le carré de cette racine. La première opération consiste à extraire la racine carrée d'un
nombre moindre que 100; le résultat est fourni par la table de multiplication; il n*a qu'un chîjGTre, que Ton écrit à la place réservée k la racine, vers la gauche; on calcule le reste correspondant que Ton écrit sous la première tranche, de manière que les unités correspondantes se trouvent sur une même verticale.
Les opérations ultérieures consistent toutes dans la détermination du chiffre des unités d'une racine dont on connaît le nombre des dizaines, nombre qui, k chaque fois, est fourni par l'opération précédente. Chaque opération fournit un chiffre, que Ton écrit à la droite des chiffres déjà obtenus à la racine, de manière à compléter cette racine au fur et à mesure.
Chacune des opérations partielles, après la première, se fait comme il suit : à la suite du reste partiel correspondant à l'opération précédente, on abaisse la tranche qui suit la tranche à laquelle on s'était arrêté dans cette opération. Appelons le nombre ainsi formé dividende partiel. On néglige le dernier chiffre de droite de ce dividende, et l'on divise par le double du nombre écrit à la racine, résultat de l'opération précédente. Le quotient entier est le chiffre à essayer; il est exact ou trop fort ; pour essayer ce chiffre, on récrit à la suite du diviseur et on multiplie le résultat ainsi obtenu par ce môme chiffre. Si le produit peut se retrancher du dividende partiel, le chiffre est bon; sinon on le diminue d'une unité et Ton essaie le nouveau chiffre de la même façon; dès que le produit peut se retrancher du dividende partiel, pn a obtenu le chiffre cherché et la différence est le reste partiel correspondant à l'opération. Les calculs relatifs aux essais se font dans l'espace laissé libre au-dessous de la racine, en plaçant ces calculs, successivement, de gauche à droite. Ceux qui concernent un même chiffre se placent les uns au-dessous des autres.
Pour faire les essais on peut profiter de la remarque du n^ 286.
On commence les opérations que Ton vient de décrire en abaissant la seconde tranche ; on les continue en abaissant successivement les tranches de gauche à droite, jusqu'à ce qu'on ait employé la dernière tranche ; le dernier reste partiel est le reste de l'opération complète.
On fait la preuve de l'opération en faisant le carré du nombre trouvé à la racine et en ajoutant le reste au résultat, on doit retrouver le nombre proposé.
289. Voici le tableau des calculs pour rextraction de la racine carrée de 63917235.
Dans ce tableau, on a écrit les multiplications, et replacé les nombres à retrancher sous les nombres dont on doit les retrancher; on peut, si Ton veut, effectuer en même temps lès multiplications et les soustractions, comme lorsqu'on fait une division. Il semble inutile d'insister sur ce détail.
Dans l'exemple précédent, les essais ont réussi du premier coup : il ne faut pas croire qu'il en soit toujours ainsi. On a placé ci-dessous le tableau détaillé des calculs pour l'extraction de la racine carrée de 30624; les explications qui précèdent suffiront amplement au lecteur pour s'en rendre compte.
Cet exemple suggère les remarques suivantes : la détermination da second chiffre de la racine a exigé trois essais; si Ton avait, à tout hasard, essayé de suite le chiffre 7, on se serait assuré que 17
264 LEÇONS DÂRITHMÉTIQUE.
est bien la racine carrée de 306, parce que 306 — 17* =17 est moindre que 2x17 + ^= 35. Mais si Ton avait essayé 6 au lieu de 7, la même règle aurait montré que 6 est trop faible. Enfin dans cet exemple, le reste final 348 est le double de la racine, c'est la valeur maximum du reste,
La règle de l'extraction de la racine montre immédiatement que le nombre de chiffres de la racine d'un nombre de 2n ou de 2n — 1 chiffres est n. 11 serait aisé de démontrer cette pl'o^^sitioD directement.
290. On peut présenter la théorie de Textraction de la racine carrée d*une façon plus générale, qui va, d^ailleurs, fournir des procédés qui abrègent notamment les calculs.
Observons d'abord que le théorème du n" 284 est un cas particulier du théorème suivant.
Pour avoir le nombre d unités d'ordre n dans la racine d'un nombre A, il suffit de séparer 2n chiffres à droite de A et d'extraire la racine carrée du nombre à gauche du signe de séparation.
Par exemple, pour savoir combien il y a de mille dans la racine carrée de A, il suffit d'extraire la racine carrée du nombre de millions de A.
En effet, s'il y a 134 mille dans la racine carrée de A, et non 135 mille, c'est que A contient le carré de 134 mille, et ne contient pas le carré de 135 mille. Or les carrés de 134 mille et de 135 mille sont des nombres exacts de millions, nombres qui s'obtiennent en faisant le carré de 134 et de 135 : donc le nombre de millions de A contient 134' cl ne contient pas 135* : donc 134 est la racine carrée du nombre de millions de A.
En séparant 2n chiffres à la droite de A, on mettra ce nombre sous la forme :
B est le nombi'e à droite du signe de séparation ; A' est le nombre à gauche:
Su
B est moindre que 10 •
Si l'on désigne maintenant par a la racine carrée de A', la racine carrée de A pourra se mettre sous la forme :
b désignant un nombre entier moindre que lO", et Ton aura
{a X 10'* + 6)' ^ A < (a X 10" + 6 + 1)', ou
a X 10*" + 2ab X 10" + 6*g A < a* X 10*" + 2a (6 + 1) X 10" + (5 + i)\
OU encore en retranchant de tous les membres a X 40 et en désignant par R la différence A — «' X 10*",
Si maintenant on supprime b^ dans le premier membre et si, dans le troisième, on remplace (6+ 1)' par (6+0 X 10", on ne fera qu'accentuer les inégalités et l'on aura ainsi, après avoir mis 6 + 1 en facteur dans le dernier membre,
2«X 10"X6^R<(2a+l)X 10" X (6+1); d'où Ton tire
K»! ' -^ / « ■ I \ V > 1 rkU
Ces inégalités montrent que b est au plus égal à la partie entière de
R 2a X 10" et au moins égal à la partie entière de
en sorte que Ton a ainsi une limite supérieure et une limite inférieure (') de 6.
291. Le lecteur reconnaîtra aisément comment ces résultats s'appliquent dans le cas ou n est égal à un, de façon à retrouver et à compléter la règle du n* 285 ; il pourra aussi reconnaître que la différence entre les deux fractions, dont les parties entières fournissent des limites supérieure et inférieure de 6, est égale à
2a et moindre que -^; cette dernière conséquence résulte assez facilement
de ce que Ton a A' — a» < 2a + 1.
292. Quoi qu'il en soit, supposons qu'on ait calculé d'une façon quelconque le nombre a, par exemple en appliquant la méthode ordinaire ; on aura, pour trouver les limites supérieure et inférieure de 6, à diviser (au sens de la théorie des nombres entiers) R par 2a X 10" et (2a + I) X 10"; pour cela (n* 104), on divisera d'abord R par 10", c'est-à-dire qu'on supprimera les n derniers chiffres à droite de R ; soit R' le résultat; on divisera ensuite R' par 2a et par 2a + I ; 6 sera l'un des quotients entiers ou un nombre intermédiaire. Relativement à cette division, il convient d'abord de faire une remarque, dont Tomission pourrait conduire à des erreurs grossières : 6,
