Voir Texorcice

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en effet, est un nombre de n chiffres, que Ton doit placer à droite de a; il peut commencer par des zéros, dont il importe de tenir compte.

Dans la division de R' par 2a ou par 2a + i^le dernier chiffre du quotient (chiffre des unités simples) provient d'un dividende partiel terminé par le dernier chiffre de R', le précédent provient du dividende partiel terminé par r avant-dernier chiffre de R', etc. ; en remontant ainsi de proche en proche, on est amené à prendre comme premier dividende partiel le nombre obtenu en supprimant les n — 1 derniers chiffres à droite de R, ou, ce qui revient au même, le nombre obtenu en faisant suivre A' — a* du premier chiffre de B. A la vérité, dans le cas exceptionnel où A' — a* serait égal à 2a, et dans ce cas seulement, le premier dividende partiel ainsi formé contiendrait dix fois 2a; le quotient de R' par 2a comporterait donc n -f 1 chiffres et non n; dans ce cas le quotient ne pourrait être égal à 6, qui ne peut avoir que n chiffres.

Les remarques du n** 112 relatives à la division d*un nombre par deux entiei^ consécutifs trouvent ici leur application. Supposons d'abord que 2a soit égal ou supérieur à iO'^ ; on va montrer que le quotient entier de la division de R' par 2a est inférieur ou égal à 2a, il en résultera (n* 112) que ce quotient est égal ou supérieur d'une unité au quotient entier de la division de R' par 2a + 1 et que, par conséquent, il est égal à 6 ou à 6 + 1.

Si Von n'est pas dans le cas exceptionnel où A' — a* est égal à 2rt, le quotient entier de la division de R' par 2a n'a que n chiffres; il est donc inférieur à 2a. Si l'on a A' — a* = 2a, ce quotient est égal à 10"; en effet R' s'obtient en faisant suivre A' — a' ou 2a de n chiffres, c'est-à-dire en multipliant 2a par 10" et en ajoutant un nombre moindre que iO", et a fortiori que 2a; en divisant le résultat par 2a on trouvera donc bien lO** comme quotient : et, dans ce cas encore, le quotient est inférieur ou égal à 2a. On obsei^era que, dans le cas exceptionnel, b est certainement égal à 10** — 1, puisqu'il ne peut avoir que n chiffres. D'où la règle suivante :

293. Soit A un nombre entier dont on veut extraire la racine carrée ; supposons que, en employant la méthode ordinaire, on ait déterminé plus de la moitié des chiffres de la racine, ou que, si celle-ci commence par un 5 ou un chiffre plus fort, on en ait déterminé au moins la moitié ; soit a le nombre écrit à la racine; à la suite du reste partiel correspondant, on place les n dernières tranches de A ; on forme ainsi le nombre R = A — a' X 10*"; on sépare à la droite du nombre ainsi formé n chiffres et l'on divise par 2a le nombre R' situé à gauche du signe de séparation ; le quotient (entier) q fournit, sauf peut-être une erreur d'une unité en trop, l'ensemble des chiffres restants.

Pour essayer ce nombre g, par un procédé tout pareil à celui du n* 285, et calculer le reste final, on pourra profiter de la division de R' par 2a, et en particulier du reste de cette division, qui est égal à R' — 2a X 9 ; en replaçant à droite de ce reste les n derniers chiffres de R, on forme le nombre

R" = R — 2aX<7X 10** = A — a*X 10*'' — 2a.XgX iO",

et il suffit de voir si q^ peut se retrancher de ce nombre. S'il en est ainsi, on pourra retrancher de A le carré de a X 10" + 9 et Ton aura

R"-^*=A — (aX10" + 9)';

q sera donc égal à 6, non à 6 + 1, et le reste de l'opération sera R" — q^ ; si la soustraction ne peut s'effectuer, b sera égal kq — i et le reste de l'opération sera R" — [q — 1)*.

Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir la racine carrée de 6391723578946702; nous avons déjà calculé (n« 287) la l'acine de 63917235, et comme le premier chiffre de cette racine est un 7, qn elle a quatre chiffres et que la racine cherchée en a huit, nous sommes dans le cas où la règle précédente s'applique. On devra à la suite du reste 13199 placer les huit derniers chiffres du nombre proposé, ce qui donne 1319978946702 ; puis séparer quatre chiffres à droite, ce qui donne 131997894, et diviser ce nombre par 2 X 7994 = 15988; la division est effectuée ci-dessous:

La racine cherchée est 79948256 ou 79948255. Pour avoir un résultat certain, on fera le carré de 8256 ; il a été effectué à droite de la division ; ilest 68161536, et ne peut être retranché du nombre 9666702 obtenu en replaçant à la droite du reste 966 de la division les quatre chiffres précédemment négligés ; la racine est 79948255 et le reste 101401677.

294. Revenons au cas général et supposons toujours qu'on ait calculé a ;

nous ne supposons plus que 2a soit égal ou supérieur à 10**. Si les parties

entières de ^r- et de ; — r coïncidaient, chacune d'elles serait égale à

2rt 2 a + 1 ^

h\ si ces parties entières coïncident dans leurs premiers chiffres, on aura

ainsi, sans ambiguïté, les premiers chiffres de 6. Il en est ainsi tant que,

en divisant R' par 2<i, les restes partiels se trouvent être supérieurs au

nombre écrit au quotient (n* 1 1 2). On poussera donc la division de R' par

2a tant que cette condition sera vérifiée ; on l'arrêtera avant qu'elle ne le

soit plus(»); on trouvera les k premiers chiffres de 6, que l'on placera à la

1. Elle ne le sera Jamais dans le cas exceptionnel où A'— a* serait égal à ta, puisque, alors, le premier reste partiel est nul : il résalte aisément des remarques précédentes que, dans ce cas, si l'on a 2a ^ 10^, h commence par des 9 en nombre au moins égal' k p.

droile de a pour former un nombre a, qui sera la racine du nombre At que Ton obtiendrait en prenant autant de tranches à gauche de A qu'il y a de chitTres dans a,, ou en plaçant à droite de A' les 2k chiffres de A qui suivent A'; dans le calcul des k chiffres du quotient, les A* derniers chiffres de A, n'ont pas servi ; les k chiffres qui les précèdent ont été abaissés successivement pour former les dividendes partiels. A la suite du dernier reste de la division, on abaissera d'un coup les k derniers chiffres de A„ c'est-à-dire autant de chiffres qu'on en a calculé au quotienL Du nombre ainsi formé on retranchera le carré du nombre calculé au quotient et Ton obtiendra ainsi le reste A^ — af de Textraction de la racine carrée de A,; on continuera en faisant jouer à A,Ai, aj le même rôle qu'ont joué A, A', a dans les raisonnements précédents, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres de la racine. Ce procédé est 1res rapide. Ou l'a appliqué ci-dessous à deux exemples.

Pour extraire la racine carrée de 6391723578946702, on a pris dans la table des carrés les deux premiers chiffres de la racine, dont on a calculé ensuite, par la règle précédente, d'abord un chiffre, puis trois, puis deux. Pour la racine carrée de 980313476587, on a pris encore les deux premiei> chiffres dans la table des carrés, une seule division a permis d'obtenir le> quatre autres.

§ 3. — Racine carrée approchée.

295. Désormais je m'interdirai de dire la racine carrée d'un nombre pour la racine carrée k une unité près par défaut : si l'on parle de la racine carrée d'un nombre, il s'agira toujours de la racine carrée exacte, que Ton supposera exister, c'est-à-dire d'un nombre dont le carré reproduit le nombre proposé.

Ëtant donné un nombre entier A, il est clair que ses racines carrées à une unité près, par défaut et par excès, sont les deux nombres entiers dont les carrés difiFèrent de A le moins possible; mais on peut se proposer de chercher des fractions dont le carré approche davantage de A; le problème que nous posons pour les nombres entiers se pose aussi pour les fractions.

Ëtant donné un nombre entier ou fractionnaire A, on appelle racine carrée à une unité près par défaut de A le plus grand nombre entier dont le carré soit contenu dans A. La racine carrée à une unité près, par excès, est le plu3 petit nombre entier dont le carré soit supérieur à A : elle s'obtient en ajoutant une unité k la racine carrée à une unité près par défaut.

296. Pour avoir la racine carrée k une unité près par défaut de A, il suffit d'extraire la racine carrée, k une unité près par défaut, du plus grand nombre entier contenu dans A. •

Le raisonnement est le même qu'aux n*** 284 et 290.

Si 13 est la racine carrée à une unité près par défaut de A, c'est que A contient 13' et ne contient pas 14*; 13* et 14* sont des nombres entiers dont le premier est donc contenu dans la partie entière de A, sans que le second le soit. C'est-à-dire que 13 est la racine carrée do la partie entière de A, à une unité près, par défaut.

297. En désignant par a un nombre entier ou une fraction, on appelle racine carrée de A à a près, par défaut, le plus grand multiple de a dont le carré soit contenu dans A. On obtient la racine

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carrée de A à a près par défaut en extrayant la racine carrée

à une unité près par défaut de la partie entière de — et en multipliant le résultat par a.

En efiFet, soit «a la racine carrée à a près par défaut de A, n étant un nombre entier inconnu; on devra avoir, d'après la définition,

[nay ^ A < [(n + 1) «]«, ou, successivement,

Ces dernières inégalités montrent que n est la racine carrée, à une unité près par défaut, de -; et par conséquent la racine carrée, à une

unité près par défaut, de la partie entière de —•

Ce théorème, quand A est entier et quand on suppose successivement a = 10, 100, 1000, ..., fournit comme cas particuliers les

théorèmes des n" 284, 290.

Si au contraire a est une fraction de la forme -i p étant un nombre

entier, — sera alors égal à A/;^ et Ton voit que la racine carrée de A,

à - près par défaut, s'obtient en extrayant la racine carrée de la