partie entière de A/?^, à une unité près par défaut, et en en divisant
le résultat par p,
Par exemple, la racine carrée de 2, à - près par défaut, s'obtiendra
en extrayant la racine carrée de 50, à une unité près par défaut, ce
qui donne 7 ; le nombre cherché est -r ; on trouvera de même que la
racine carrée de 2, à - près par défaut, ^st — = ^ •
298. La recherche de la racine carrée d'un nombre A à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, par défaut, offre un grand intérêt tant au point de vue théorique qu'au point de vue pratique : pour l'effectuer, d'après la règle générale qu'on vient de donner, on multipliera A par 100, 10000, 1000000,... ; on extraira la racine carrée de la partie entière à une unité près par défaut et l'on divisera le résultatpar 10, 100, 1000,.-
Supposons que A soit écrit sous forme décimale ; on peut obtenir de suite les parties entières de A X 100, A X. 10000, A X 1000000, ...; il suffira d'avancer la virgule de deux, quatre, six, ... rangs vers la droite, en complétant au besoin par des zéros la partie décimale de A. On ne conservera que la partie à gauche de la virgule : on en extraira la racine carrée à une unité près par défaut, puis on divisera cette racine par 10, 100, 1000, ..., ce qui se fait en séparant 1, 2, 3, ... chiffres décimaux.
Imaginons qu'on ait séparé la partie décimale de A en tranches de deux chififres à partir de la virgule; désignons ces tranches, en allant de la gauche vers la droite, sous le nom de première, seconde, troisième, ... tranche décimale: chacun des nombres que Ton forme en plaçant à droite de la partie entière de A la première, puis la seconde, puisla troisième,... tranche décimale contient, au commencement, les mêmes chififres que le précédent, et le nombre de dizaines de sa racine est précisément la racine carrée, à une unité près par défaut, du précédent, en sorte que si Ton veut calculer iuccessivement la racine carrée de A à 1 ; 0,1; 0,01; 0,001; ... près par défaut, chaque opération servira à la suivante, et, pour cette dernière, on n'aura qu'un chiffre de plus à déterminer, ce qui se fera exactement comme on Ta expliqué au n^ 285. Il semble inutile d'insister sur la disposition des calculs, qui sera suffisamment expliquée par les exemples
suivants, où Ton a calculé à tt^t près les racines carrées de 2 et de la
fraction =jrjr- dont la valeur approchée à jrr^ près, par défaut,
est 0,0001428571. On voit que pour 2, on s'est contenté d'écrire les zéros h mesure qu*on en avait besoin. Les racines ont été calculées par la règle du n® 288.
dOO
Quand le nombre A. est plus grand que un, on place, à. la racine, la virgule après le dernier chiffre de la racine carrée à. une unilé près de la partie entière; les chiffres qui suivent sont fournis par les tranches décimales successives. Quand le nombre A est plus petit que un, on écrit d'abord un zéro à la place de la racine, puis une virgule, puis, s'il y a lieu, autant de zéros qu'il y a de tranches décimales composées de zéros; le premier chiffre signiflcatif, à la racine, est la racine carrée k une unité près, par défaut, de la première tranche décimale qui contient au moins un chiffre significatif.
Il est à peine utile de dire que l'on peut appliquer la méthode abréfrêe du n* 292; par exemple, ayant la racine carrée de 2 à j^rj près, nous pouvons
IO«o
l'avoir à ttts près (par défaut ou par excès) au moyen d'une seale division,
qui est effectuée en haut de la page suivante ;
On est dans le cas où les chiffres ne comportent aucun doute, puisque le reste de la division est supérieur au quotient. Si Ton voulait avoir le reste, dans l'extraction de la racine carrée, il faudrçiit former la quantité
On trouve 20674401871 : ce serait le reste dans l'extraction de la racine
carrée de 2 X 10»^, opération dont le résultat est 1,4142135623; la racine
carrée de 2 à rrrrr près est 1,4142135623 et en la désignant par a, le calcul
lu
précédent monlre que Ton a :
299. Les racines carrées de 2 à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; ... près, par défaut, sont donc
les racines carrées de 2 à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; ... près, par excès, seront
On voit manifestement que les nombres que Ton obtient en extrayant la racine carrée d'un nombre quelconque A à 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... près, par défaut, vont en augmentant, ou plutôt ne vont jamais en diminuant. Au contraire, les nombres que Ton obtient en extrayant la racine carrée de A à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, par excès, vont en diminuant, ou plutôt n'augmentent jamais; le raisonnement est le même qu'au n** 250.
Tankbrt. 18
Les deux suites correspondantes
peuvent être poursuivies indéfiniment; tous les termes de la première suite, qui vont en augmentant à mesure qu*on savance davantage, sont plus petits qu'un terme quelconque de la seconde suite; tous les termes de la seconde suite, qui vont en diminuant à mesure qu'on s'avance davantage, sont plus grands que les termes de la première suite; la différence entre deux termes de même rang, qui est successivement 1; 0,1; 0,01; 0,001 ; ..., va en diminuant, et cette différence diminue indéfîniment quand on s'avance indéfiniment dans les deux suites.
On touche ici à la définition de la racine carrée exacte de 2; mais je réserve pour un autre chapitre cette définition, qui n'est pas sans difficulté. Je me contenterai de remarquer que la considération de ces deux suites résout le problème posé au n^ 295 : trouver des nombres dont le carré diffère de 2 aussi peu qu'on le veut ; d'après les opérations du n® 298, les différences entre 2 et les carrés des nombres 1 ; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421 sonl respectivement 1 ; 0,04; 0,0119; 0,000604; 0,00003836; 0,0000100759; elles diminuent assez rapidement; les racines carrées à 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;... près, par excès, donneraient lieu h des observations analogues. Ce résultat est général.
300. En effet, les racines carrées de A à a près, par défaut et par excès, sont des nombres wa, (n + l)a tels que l'entier n satisfasse aux inégalités
le nombre A étant compris entre (na)* et [(« + 1) «]*, sa différence avec l'un ou l'.autre de ces deux nombres est moindre que
(n-f-l)«a2 — »2a« = [(n-f 1)« — fi«]a*=(2n + l)a« = (2na-f o)o.
Si l'on désigne par B un nombre fixe quelconque, dont le carré soit supérieur k A, on aura
nV<A<BS
et, par suite,
na<B;
si donc a est plus petit que un, on aura
2wa + a<2B + l,
et la différence entre A et le carré de Tune ou de l'autre de ses racines carrées à a près, par défaut ou par excès, sera moindre que (2B + l)a, quantité qui peut être rendue aussi petite qu'on le veut, en prenant a suffisamment petit. Il existe donc des nombres dont les carrés sont respectivement plus petits et plus grands que A et qui diffèrent de A aussi peu qu'on le voudra. On trouvera en parti-
culier de tels nombres en prenant a = — et n suffisamment
grand. C'est ce que Ton exprime en disant que la différence entre A et le carré de sa racine carrée à a près, par défaut ou par excès, a pour limite zéro quand a diminue indéfiniment. En particulier, si l'on forme la suite indéfinie des racines carrées de A, approchées par défaut à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, puis la suite des carrés de ces nombres, on pourra dire que les termes de cette dernière suite ont pour limite A quand leur rang augmente indéfiniment {n^ 238). 301. Quoique la différence entre A et le carré de sa racine carrée par défaut n a, à a près, diminue indéfmiment quand a diminue indéfiniment, cette différence ne décroît pas toujours quand a décroit. Ainsi
1 1 les racines carrées de 2 à - et à - près, par défaut, sont respective-
7 4 21 20 ment ^ ^t -, ou — et — ; la seconde est plus petite que la première, o o \o lo
et par conséquent on a
Cette circonstance ne peut se présenter (n<> 299) quand on prend
les racines carrées de A à une unité, t:^, tttt, -rr,... près, par défaut:
les nombres ainsi formés ne vont jamais en diminuant : plus généralement on pourrait démontrer que si Ton a, en désignant par p un nombre entier, plus grand que un,
la racine carrée de A à p près, par défaut, est au moins égale k la racine carrée de A à a près, par défaut.
§ 4. — Racine carrée approchée d'un nombre dont on ne connaît qu'une valeur approchée.
302. Dans ce qui précède^ on a donné un moyen de trouver des nombres dont le carré approche autant qu'on veut d'un nombre A, et Ton a déOni la racine carrée de A à a près, par défaut ou par excès. Il est tout naturel d'étendre un peu cette notion : cette extension, il est vrai, se présenterait d'elle-même si Ton avait défmi la racine carrée exacte d'un nombre A dans tous les cas.
Les indications suivantes, qui suffisent pour les calculs pratiques, sont légitimes sans cette définition.
On dit qu'un nombre a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une en^eur moindre que a, si Ton a
les mots « valeur approchée de la racine » signifient seulement ici solution du problème qui consiste à trouver des nombres dont le carré approche de A.
On dit de même qu'un nombre b est une valeur approchée de la racine carrée de A, par excès, avec une ei^^eur moindre que a, si l'on a
Si l'on a
on pourra donc dire que a et ô sont des valeurs approchées de la racine carrée de A, avec une erreur moindre que b — a.
Si a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une erreur moindre que a, tout nombre a — p, plus petit que û, sera une valeur approchée par défaut de cette racine, avec une erreur moindre que « + P, puisque l'on aura
tout nombre a + y plus grand que a sera une valeur approchée par défaut, avec une erreur moindre que a — y» si son carré est inférieur à A, ou une valeur approchée par excès, avec une erreur moindre que Yi si son carré est supérieur à A; car on a, dans le premier cas,
et, dans le second,
Dans tous les cas, a -^ y est une yaleur approchée de la racine de A avec une erreur moindre que le plus grand des nombres a, f. Des remarques analogues s^appliquent aux valeurs approchées par excès.
303. Si a est une valeur approchée de A, par défaut, avec une erreur moindre que a, on a
A— a»<2aa^-a^• ainsi, le carré de a diffère de A d'une quantité moindre que a (2a-|-a). Cette quantité est une limite de Tapproximation avec laquelle on a résolu le problème « trouver des nombres dont le carré approche de A ». On a souvent besoin d'évaluer grossièrement cette limite; pour cela, on remplace 2 a -{-a par un nombre simple qui lui soit notoirement supérieur, par exemple par le nombre obtenu en forçant le premier chiffre de 2 a -^ a et en le faisant suivre d'assez de zéros pour lui conserver sa valeur relative. Si a est petit par rapport à a, on n'aura pas, habituellement, à tenir compte de a pour trouver ce premier chiffre.
Ainsi, on sait que 1,414 est une valeur approchée de la racine
carrée de 2 avec une erreur moindre que -r^rzi la différence 2 — (1,414)'
lO''
est moindre ^^^e — , X (3 + 1 ) = j^ •
De même si b est une valeur approchée de la racine carrée de A, par excès, avec une erreur moindre que a, on aura
6* — A<2ôa — «•<2ôa;
d'où une règle analogue.
304. Inversement, supposons que le carré d'un nombre a soit inférieur à A et en diffère d'une quantité moindre que •; il est aisé de trouver une limite de Terreur avec laquelle a approche de la racine carrée de A. On a en effet
puisque, par hypothèse, a' + • est déjà plus grand que A; donc a est une valeur approchée de la racine carrée de A avec une erreur
moindre que — . Des observations analogues s'appliqueraient aux
valeurs approchées par excès. Ce qui précède montre comment les nombres dont les carrés approchent beaucoup de A sont très voisins les uns des autres.
305. Supposons enfin que le nombre A ne soit pas exaclemenl connu et que Ton en ait seulement une valeur approchée A', par défaut, avec une erreur moindre que t: A est compris entre A' et A'+ e.
Imaginons qu'on ait calculé une valeur approchée a de la racine carrée de A', par défaut, avec une erreur moindre que a, a sera une valeur approchée de la racine carrée de A avec une erreur moindre
que a + TT- : on a en effet 2a
et le second membre est plus grand que A' -|- 1, puisque (a + a)^ est
plus grand que A' et que • est plus grand que •; ce second
membre est donc, a fortioH^ plus grand que A. Comme A est compris entre a* et ( a + * + 5~) » OQ P^ut affirmer que a est une valeur approchée par défaut de la racine carrée de A avec une erreur moindre que « + q- ; si Ton n'a besoin que d'une évaluation grossière
de cette erreur, on pourra remplacer dans Texpression « + r- , «
par tel nombre plus petit que a que Ton voudra, par exemple par son premier chiffre significatif, en lui conservant sa valeur relative. Cette formule permet de résoudre la question suivante : 306. Supposons que le nombre A ne soit pas donné directement, mais doive résulter de calculs qui permettent de l'obtenir avec telle approximation que Ton veut '.jusqu'où devra-t-on pousser l'approximation pour obtenir une valeur approchée de sa racine carrée avec une erreur moindre qu'un nombre donné tj ?
Supposons qu'on ait calculé une valeur A' approchée par défaut de A, avec une erreur moindre que t, puis une valeur approchée a, par défaut, de la racine carrée de A' avec une erreur moindre que a; a pourra être regardé comme une valeur approchée par défaut de la racine carrée de A, avec une erreur moindre que tj, si l'on a
On commencera par calculer grossièrement un nombre qui soit certainement moindre que a (il sufHra, par exemple, de connaître le premier chiffre de a), et Ton remplacera dans Tinégalité précédente a par ce nombre, puis on déterminera a et • de manière à vérifier Finégalité. 11 est clair qu'il suftira de prendre • •< 2air) ; on déterminera ensuite a par la condition a < ti — — - , ce qui est toujours
possible puisque Ton peut prendre a aussi petit qu*on le veut.
Une discussion assez facile permettrait de déduire de là le résultat suivant, qui peut être utile dans la pratique : quand on connaît un nombre avec n chiffres exacts, on peut calculer sa racine avec n — 1 chiffres exacts, sauf une erreur possible de 2 unités du dernier ordre.
§ 5. — Cubes; racine cubique. Puissance «•>«««;
racine m%^"^''.
307. Les détails dans lesquels nous sommes entrés pour les carrés, la racine carrée, nous permettront d'aller plus vite pour ce qui concerne les cubes, la racine cubique, les m**™'* puissances, la recherche de racine m'*"*® d'un nombre.
La puissance m'*""* d'un nombre est le produit de m facteurs égaux à ce nombre. La puissance m**™* d'une fraction est une fraction dont les termes sont les m'*™** puissances des termes de la fraction proposée : si cette dernière est irréductible, il en est de même de sa m'*« puissance, formée par la règle précédente. Celle-ci, en particulier, ne peut être un nombre entier.
Si l'on a A > B, on a A*" > B*"; en effet. A*'* est le produit de m facteurs respectivement plus grands que les m facteurs dont se
compose B*" ; réciproquement, si l'on a A*" > B***, on a certainement A>B.
La racine m'*"* (exacte) d'un nombre A est un nombre dont la unième puissance est égale à A. Si ce nombre existe, il est unique. Si A est entier et s'il n'est pas la puissance m'*"** d'un nombre entier, il n'est pas non plus la puissance m'*"'« d'une fraction ; il n'admet pas de racine m**"»* exacte. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction irréductible admette une racine m'*"' exacte est que ses termes soient les puissances m'**"*' de nombres entiers.
La puissance m**™* d'un nombre terminé par p zéros s'obtient en faisant suivre de mp zéros la puissance w'*™*de ce nombre, abstraction faite de ses zéros.
308. La racine m^^* d'un nombre entier ou fractionnaire A., à une unité près par défaut, est le plus grand nombre entier dont la puissance m**"® soit égale ou inférieure à A. La racine tn**™* d'un nombre A, à une unité près par excès, est le plus petit nombre entier dont la puissance m'*"* soit supérieure k A.
Il suffît, pour obtenir la racine m}^^ k une unité près par défaut de A, d'extraire la racine m'*"', à une unité près par défaut, de la partiç entière de A. SU s'agit, par exemple, de la racine cubique et si la racine cubique de A, kune unité près par défaut, est 13, c^est que A contient 13' et ne contient pas 14'; donc la partie entière de A contient 13' et ne contient pas 14'; donc 13 est la racine cubique, à une unité près, de la partie entière de A.
La racine m'*™® d*un nombre entier ou fractionnaire k a près, par défaut, est le plus grand multiple de a dont la m^^^ puissance soit inférieure ou égale à A :
Si Ton désigne par na cette racine, elle est déterminée par les inégalités
(««) ^ A < [(n + 1) a]' ou
qui montrent que n est la racine m'^"*', à une unité près par défaut,
de —, ou, si Ton veut, de la partie entière de —, La recherche de
la racine w**™* d'un nombre avec une approximation donnée est donc ramenée k la recherche de la racine m**"*' d'un nombre entier, k une unité près par défaut.
309. Cubes et racines cubiques. — Entrons dans quelques détails pour ce qui concerne les cubes et les racines cubiques de nombres entiers. Jusqu'au numéro 317, je dirai racine cubique d'un nombre entier pour désigner soit sa racine cubique exacte si elle existe, soit sa racine cubique k une unité près par défaut.
Le cube d'une somme a-^-b s'obtient en multipliant le carré a*4-2aé + 6*par a + ^i ce qui se fait en multipliant successivement ce carré par a et par b, et en ajoutant; on trouve ainsi
a»+2a'é+ aé' + a«6+2a6* + 6'
et par conséquent
(1) {a+bf=a^+Za'b+Ub^ + b';
on trouve de même
(a — 6)5 = a'— 3a«6+3ûô» — ô^ En supposant b = i dans régalUé (1), on trouve
(a+l)«=a»+3a» + 3a+l ou
310. Cette dernière égalité permet de construire aisément une table des cubes des nombres entiers, de 1 à 99 par exemple : en effet, la table II permet, au moyen de calculs très simples, de former les valeurs de 3a'-|-3a-f-l quand on y remplace successivement a par 1, 2, 3, 4, ... . On a inscrit dans la ligne suivante les valeurs de 3a*+3a+l pour les neuf premiers nombres :
au-dessous on a écrit les neuf premiers nombres en les avançant d'un rang, de façon que chacune des valeurs de 3a*+3a+l corresponde, non au terme de la suite naturelle qui est écrit audessous de lui, mais au terme qui le précède immédiatement.
Le cube de 1 est 1 ; le cube du nombre suivant 2 s'obtiendra en ajoutant àl la valeur de 3a*+3a+^ pour a = 1, c'est-à-dire 7; le cube de 2 est 8. Le cube du nombre suivant 3 s'obtient en ajoutant à 8 la valeur de 3a'-f3a + l pour a=2, c'est-à-dire 19; le cube de 3 est 27; le cube de 4 s'obtient en ajoutant 37 à 27; c'est 64, etc.... On pourra ainsi former successivement une table des cubes allant de 1 à n, n étant un entier quelconque.
311. Le procédé suivant nous fournit en passant une expression remarquable de la somme des carrés des n premiers nombres. Il met en effet en évidence la proposition suivante : le cube de n-j-l peut s'obtenir en ajoutant à 1 successivement les valeurs que prend l'expression 3a*4-3fl + l quand on remplace a par 1, 2, 3, ... n : or cette somme est manifestement égale à3S2+3S|-|-n, en désignant parS| la somme des n premiers nombres et par S| la somme de leurs
nfti I i ^
carrés; en se rappelant {n^ 70) que Sj est égal k , on en
conclut
d'où l'on tire en multipliant par 2
ou
6S, = 2(n + l)» — 3n{n+l) — 2(n + l) = (rt + l)[2(n + l)» — 3n — 2] = (n+l)(2n'+n),
et finalement
Par exemple, la somme des carrés des 99 premiers nombres est égale à
ce qui donnerait un moyen de vérifier la table II.
Le lecteur pourra étendre ce procédé : il verra comment de la table des cubes on pourrait passer à la table des quatrièmes puissances, et comment la construction dô cette table permettrait de trouver une expression simple de la somme des cubes des n pre-
miers nombres (*), h savoir — • j •
Quoi qu'il en soit, la table III, que Ton trouvera à la fin du volume, donne les cubes des 99 premiers nombres; elle met en évidence la façon très rapide dont croissent ces cubes.
1. L'égalité Bîgnalée dans l'exercice 55 fournit un autre moyen, un peu plus rapide, do parvenir à ces résultats; en y supposant, par exemple,p = 3 et en y remplaçant n par n — 1< elle donne
or la quantité entre crochets, dans le second membre, n est autre chose que
c'est-à-dire S« + Si, d'où un moyen pour calculer S^; de même, en supposant p8s.4, on obtiendrait la somme des cubes des n premiers nombres.
312. Arriyons à la recherche de la racine cubique d'un nombre entier.
Si ce nombre entier est inférieur h 100« = 1000000, la table III permettra de l'obtenir immédiatement. Toutefois, il est aisé de montrer que, connaissant seulement les cubes des neuf premiers nombres, on peut obtenir successivement, par une suite d'opérations régulières, tous les chiffres de la racine cubique d'un nombre, quelque grand qu'il soit.
313. Pour obtenir le nombre de dizaines, de centaines, de mille, ... de la racine cubique d'un nombre entier A, il suffit de séparer 3, 6, 9, ... chiffres à la droite de A et d'extraire la racine cubique du nombre placé à gauche du signe de séparation.
Chercher en général combien de fois la racine cubique de A contient
10*, c'est chercher la racine cubique de A à 10" près, par défaut ; pour
cela, il faut (n® 308) diviser A par (10")'= 10''\ et chercher la racine cubique de la partie entière du quotient à une unité près par défaut. Or cette partie entière du quotient s'obtient en supprimant 3n chiffres à la gauche de A. Le théorème est donc démontré.
314. En supposant qu'on ait séparé ainsi 3u chiffres à gauche de A, désignons par B la partie de A qui est à droite du signe de séparation, par A' le nombre qui est à gauche, on aura
désignons par a la racine cubique de A'; la racine cubique de A pourra se mettre sous la forme
aXlO"+6,
h étant un nombre entier moindre que 10", et Ton aura
(aX 10" + Ô/^A <(a X 10"+ 6 + l)\
En retranchant a' xlO'"des trois membres de cette inégalité et
en désignant par R la différence A — a' X 10*'*, on trouve successivement
3a'6xl0*" + 3a6'xl0" + 6'^R, d'où
3fl*6xlO''<R(«),
i. L'égalité ne peut avoir lieu que si l'on a 6 = 0, R = 0.
284 LEÇONS D*AR1THMÉTIQUE.
puis
R<3a«(6 + l)xlO'" + 3a(6 + l)*XlO" + {* + i)';
or, puisque à -\-\ est au plus égal à 10'\ on ne peut qu'accentuer rinégalité en remplaçant respectivement (6 + lj* et (A+1)' par
{à + l) Xl(ret(A + l)x40'"; on aura donc
R < (3 a« + 3a + 1) (ô + 1 ) X 10'\ Finalement, on parvient aux deux inégalités
3a"xl0"* (3a* + 30+1)10*"
qui montrent que les parties entières des deux fractions sont des limites supérieure et inférieure de à.
Si Ton a calculé a, R s'obtient facilement : il suffira de former A' — a', puis d'écrire à la suite de cette différence les 3n chiffres de B. Quant aux parties entières des deux fractions, on les obtiendra
en divisant R par 10 " (ce qui se fait en supprimant les 2n derniers chiffres de R) et en divisant ensuite le nombre restant par 3a' ou 3a* + 3a + 1 ; on obtiendra ainsi des quotients entiers é', b". La racine cubique de A sera a X 10" + 6', a X 10" + b" ou un nombre intermédiaire. On essaie habituellement les nombres en commençant par le plus fort, dont on fait le cube : si ce cube peut se retrancher de A, le premier nombre essayé est la racine cherchée ; si la soustraction est impossible, on diminue le nombre à essayer d'une unité et on essaie de la même façon le nouveau nombre, etc.; en procédant de cette façon, il n'est pas nécessaire de calculer la
limite inférieure a X 10" + ô".
Lorsque l'on essaie au hasard un nombre r=ax 10" +p, où P est, par exemple, un nombre compris entre b[ et 6", on sera assuré que r est bien la racine cubique cherchée si Ton a à la fois
Enfin, au lieu de comparer (a X 10" + P)' ^ A., on peut profiter de ce que l'on a déjà calculé A — a' X lO'" = R et comparer le nombre R à 3 a» p X 10*" + 3a p»X 10" + p».
Les règles précédentes s'appliquent particulièrement en supposant n = 1 : elles permettent de calculer le chiffre des unités d'une racine cubique quand on connaît les dizaines de la racine, et Ton peut obtenir successivement les chiffres d'une racine cubique quelconque par le procédé régulier qui suit.
315. On séparera A à partir de la droite en tranches de trois chiffres : la tranche extrême de gauche aura un, deux ou trois chiffres; comptons désormais les tranches, au contraire, en allant de gauche à droite.
On calculera successivement les racines cubiques des nombres formés par la première tranche, par l'ensemble des deux premières tranches, par l'ensemble des trois premières tranches, etc.; on calculera aussi les restes partiels relatifs à chaque opération. La première opération se fera en extrayant la racine cubique d'un nombre moindre que 1000, racine cubique qui n'a qu'un chiffre : cette opération suppose que l'on sache les cubes des neuf premiers nombres; la recherche des racines cubiques des nombres formés par les deux, trois,... premières tranches, revient chaque fois à Vexlraètion de la racine cubique d'un nombre entier connaissant les dizaines de cette racine; ce nombre de dizaines est fourni par l'opération précédente. Pour obtenir le chiffre des unités, on procède comme il suit : on abaisse à la suite du reste partiel correspondant k l'opération précédente la tranche qui suit celle qu'on vient d'employer; on sépare deux chiffres à droite et l'on divise le nombre à gauche du signe de séparation par trois fois le carré du nombre obtenu à la racine; le chiffre obtenu au quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort; on peut, si l'on veut, calculer aussi une limite inférieure. On essaie le nombre trouvé en en comparant directement le cube au nombre partiel dont on veut obtenir la racine, ou par les procédés qui ont été expliqués plus haut ; quand on aie chiffre cherché, on calcule le reste partiel et l'on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les tranches du nombre proposé. Le nombre des chiffres de la racine est le nombre de tranches du nombre proposé.
Si le nombre proposé n'a pas plus de neuf chiffres, la table 111 permet d'obtenir de suite le nombre de dizaines de la racine et l'on n'a qu'un chiffre à déterminer. Au reste, quand on a à extraire la racine cubique d'un grand nombre, les deux tables II et III peuvent rendre de grands services, et les remarques du n^ 314 permettent d'abréger notablement les calculs : je me contenterai d'expliquer les choses sur un exemple.
316. Supposons qu*on veuille extraire la racine cubique du nombre
elle a 7 chiffres : les deux premiers s'obtiennent eu extrayant la racine cubique de 587243, qui est fournie par la table des cubes, elle est 83, et le reste correspondant est
La racine cubique de A est donc de la forme a X 10' + 6, en supposant a = 83 et en désignant par 6 un nombre inconnu de 5 chiffres. On a d'ailleurs
On doit pour obtenir 6 séparer 10 chiffres à droite de ce reste, ce qui donne 1545619875, puis diviser ce nombre par 3a* et 3a' + 3a+l. Ces deux nombres se calculent aisément au moyen de la table II ; on trouve
3a« = 20667, 3rt« + 3a + 1 = 20917.
On fait les deux divisions simultanément, en s*arrêtant dès que les résultats diffèrent : on trouve respectivement 74 et 73 pour les deux premiers chiffres du quotient; Tun des deux nombres 8373, 8374 est la racine cubique de 587243198756. Essayons 8374; en le regardant comme la somme de 8300 et de 74, son cube s'obtient facilement par les tables; on a déjà la différence entre 587243198756 et 83» X lOO^; elle est 15456198756; il ne reste plus qu'à en retrancher, s'il est possible, le nombre
3 X 832 X 74 X 100» + 3 X 83 X 74J >< ^qO + 74' = 15430337624;
la soustraction peut s'effectuer, et le résultat est 25861132; c'est le reste dans l'extraction de la racine cubique de 587243198756, et cette racine cubique est 8374.
La racine cubique de A est donc de la forme a' X 1000 + &', en représentant 8374 par a' et en désignant par 6' un nombre moindre que 1000. Pour déterminer 6', on formera, d'après les calculs antérieurs :
on supprimera six chiffres à droite et l'on divisera le nombre trouvé : 25861132432 par 3a'» et 3a'« + 3a' -[- 1. Ces deux nombres se calculent facilement, et Ton trouve
on divise 25861132432 respectivement par ces deux nombres; les deux quotients sont égaux à 122 et la racine cherchée est 8374122. En somme, la
recherche de la racine cubique d'un très grand nombre, tel qu'on n'en rencontre assurément pas dans la pratique, n'est pas une opération aussi longue qu'on pourrait le croire.
317. En raison de la façon très rapide dont les cubes des nombres entiers croissent, les derniers chiffres d'un nombre influent peu sur la racine cubique; ainsi, en prenant à la vérité des exemples très favorables, la table III montre qu'il suffit de savoir que le premier chiffre d'un nombre de six chiffres est un 9 pour être sûr que sa racine cubique est 97, 98 ou 99 ; la racine cubique d'un nombre de six chiffres dont les premiers chiffres sont 92 ou 93, est certainement 97.
318. Pour extraire la racine cubique d'un nombre A écrit sous la
forme décimale, à — ;; près, par défaut, on le multiplie par 10 , ce
qui se fait en avançant la virgule de 3 n rangs vers la droite ; on extrait la racine cubique à une unité près par défaut, et Ton sépare n chiffres décimaux. Cette opération donnerait lieu à des observations ana* logues à celles que Ton a faites avec détail pour la racine carrée ; je n'y reviendrai pas, non plus que sur les définitions concernant les valeurs approchées de la racine avec une erreur moindre qu'un Dombre donné.
319. La recherche de la racine p'*™« (à une unité près par défaut) d'un nombre entier A se fait par la môme mélbode que la recherche des racines carrée et cubique.
En séparant pn chiffres à la droite de A, on le met sous la forme
