A = AMO^" + B

où B est inférieur à ^O*"*; si on désigne par a la racine p'*"« de A', la racine p**"** de A pourra se metlre sous la forme a X iO'* + b, b étant un nombre moindre que lO**, et il est clair que le problème pourra être regardé comme résolu, si l'on sait trouver b connaissant a. La solution de la question analogue pour les racines carrée et cubique a été obtenue en partant de l'expression du carré et du cube d'une somme. L'expression analogue {*), pour la puissance p**"*® d'une somme (formule du binôme), qu'il conviendrait d'employer maintenant, n'est pas d'ordre élémentaire; le lecteur, familier avec l'algèbre, verra de suite lé parti qu'on peut tirer de ceUe formule; on peut lui substituer l'identité plus simple (n" 88)

t* Elle régttlie aisément de l'exercice loe.

d'où Ton déduit sans peine, en remplaçant x par a -f P et y par a, les inégalités

(«+P)''-«^sp«''-'p, {.+p)''-«''<p(«+p)'-'p,

«' + p«''-'p^(« + pr<«'' + p(«+p)'-'p;

de ces dernières inégalités, il serait aisé de conclure, en reprenant les notations du commencement de ce numéro, que, si le nombre a X iO" -^ 6 est la racine p'*"»® de A = A' X to"* + B, on a

^pa'^-^XIO"^"-^^'

"^^p(a + ir*X10"^"-^>'

en désignant par R le nombre A — a** X iO"^ ; ces deux formules, qui fournissent des limites supérieure et inférieure de &, permettront, au moyen de quelques tâtonnements, de calculer ce nombre si l'on a calculé a,

320. Je me contenterai d'attirer l'attention du lecteur sur le résultat que voici.

Soit no. la racine p'*™», à « près, par défaut, du nombre A; n est un nombre entier défmi par les inégalités

et que l'on obtient par conséquent, en vertu de raisonnements pareils à

ceux du n' 308 en extrayant la racine p'*™», à une unité près, de la partie

A entière du nombre —

«'' La différence entre A et la puissance p'*™® de l'une ou l'autre de ses racines p'*«n«, approchées à « près, par excès ou par défaut, sera moindre que

(n + j)V-,/«^ = «" [(n + 1)" -n'']; or on a, en vertu d'une inégalité signalée plus haut,

donc la diflerence considérée est moindre que

«p «''■-* (n + 1)""* = ap (n« + oc)''--'.

Si Ton désigne par B un nombre flxe quelconque dont la puissance pième soit supérieure à A^ on aura certainement na < B, et si l'on suppose