SYSTÈME MÉTRIQUE

§ 1. — Généralités.

321. La théorie de la mesure des grandeurs, quand on veut l'exposer avec une entière rigueur, comporte de notables difficultés; j'y reviendrai au chapitre XIII, quand la notion du nombre aura été complétée; pour le moment, je me bornerai k quelques notions communes, dont la plupart sont déjà, familières au lecteur.

Relativement aux quantités dont il sera question ici (longueurs, surfaces, volumes, poids, ...), on peut faire les remarques suivantes :

Si nous considérons des quantités d'une môme espèce, on sait ce qu'on entend, en parlant de quantités égales, d'une quantité plus grande ou plus petite qu'une autre, d'une quantité qui est égale à la somme de plusieurs autres; on sait ce que c'est que diviser une telle quantité en parties égales : si on la divise en n parties égales, l'une quelconque d'entre elles sera dite la n'*™® partie de cette quantité ; il y a exception quand n =2, 3, 4, auquel cas on emploie les mots moitié, tiers, quart pour désigner les parties : les conditions qui doivent être imposées aux définitions des mots égal, plus grand, plus petit, somme, partie, ... seront précisées au chapitre XIII; les notions qui correspondent à ces mots sont faciles quand il s'agit de longueurs rectilignes; pour le moment, sans nous embarrasser des difficultés qu'elles peuvent comporter, nous les regarderons comme des notions de sens commun.

322. On dit qu'une quantité B est contenue exactement une, deux, trois, quatre, ... fois dans une quantité de même espèce A, quand cette dernière est égale à B, ou égale à la somme de deux, trois, quatre, ... quantités égales à B.

Si B est contenu exactement dans A, plusieurs fois, c*est une partie aliquote de A.

On dit que deux quantités de même espèce A, B sont commensurables entre elles quand il existe une quantité C qui est contenue exactement dans A et dans B. Cette quantité C est alors une commune mesure de A et de B.

S*il n*existe pas de commune mesure à A et à B, les deux quantités sont dites incommensurables entre elles.

323. Mesurer une quantité A, c'est la comparer à une quantité de même espèce B, choisie à Tavance et que Ton appelle imité. Le résultat de cette mesure est un nombre. Cette comparaison se fait comme il suit :

1** A peut être égal à Tunité; sa mesure est alors le nombre 1; A peut être égal à la somme d'un certain nombre de fois Tunité; ce nombre entier de fois est alors la mesure de A. Si A contient Tunité exactement 5 fois, par exemple, A est mesuré par le nombre 5.

2^ A peut être égal à une partie aliquote de Tunité, ou à la somme de plusieurs de ces parties aliquotes, obtenues en divisant Tunité en un certain nombre de parties égales ; la mesure de A est alors une fraction dont le dénominateur est le nombre de parties dans lesquelles on a divisé Tunité et dont le numérateur est 1 dans le premier cas, et dans lé second cas, le nombre de parties aliquotes contenues dans A. Supposons, par exemple, que Ton ait divisé Tunité B en 8 parties égales : si A est égal à Tune de ces parties,

sa mesure sera ^; si A est égal k la somme de 9 de ces parties, sa

mesure sera -; on dit aussi que A est le huitième de Tunité, les neuf

huitièmes de Tunité.

Dans les cas 1" et 2", A et Tunité sont des quaulilcs commensurâbles entre elles; on dit dans le même sens que A est commensurable avec Tunité.

Ces deux cas peuvent être réunis dans un seul énoncé : Si les quantités A et B sont commensurables entre elles et si C désigne une commune mesure de A et de B, le nombre qui mesure A quand on prend B pour unité est une fraction dont le numérateur indique combien de fois la commune mesure C est contenue dans A, et le dénominateur combien de fois elle est contenue dans Tunité B. Si, par exemple, la commune mesure C est contenue 3 fois dans A et 5 fois dans B, c'est que A peut être obtenu en divisant B en 5 parties égales et en prenant 3 de ces parties; le nombre qui

mesure A est donc -•

3^ Si A n*est égal ni à l'unité, ni k la somme de plusieurs unités, ni à une partie aliquote de Tunité, ni à la somme de plusieurs parties aliquotes de Tunité, A est incommensurable à Tunité. Ëcartons provisoirement ce cas, sur lequel nous reviendrons plus tard.

Nous bornant donc aux cas !• et 2°, nous supposerons essentiellement que les raisonnements que Ton a faits au commencement du chapitre VI sur les longueurs rectilignes s'appliquent ici, qu'une même grandeur (ou des grandeurs égales) peut être mesurée par des fractions égales, que, réciproquement, des fractions égales mesurent toujours des grandeurs égales (de la même espèce), que des fractions inégales ne peuvent pas mesurer des grandeurs égales, que la somme de deux grandeurs mesurées respectivement par deux fractions a pour mesure la somme de ces fractions.

324. Le nombre qui mesure A quand on prend B pour unité, s ap-

pelle aussi rapport de A à B et se représente par le symbole -^ qu'il

faut se garder de confondre avec une fraction : A, B, ne sont pas des

nombres, mais des grandeurs : c'est— qui est un nombre. A ces

symboles, on n'a pas, pour le moment au moins, à appliquer les

règles de calcul des fractions.

325. On a souvent à changer d'unité. Ce changement donne lieu aux importants théorèmes qui suivent.

Considérons d'abord deux grandeurs A, B, commensurables enlre elles :

Le nombre qui mesure A quand on prend B pour unités et le nombre qui mesure B quand on prend A pour unité sont inverses l'un de

Vautre : en d'autres termes, les deux rapports — ^ — sont des nombres

inverses l'un de l'autre.

Supposons, en effet, que la commune mesure C entre .\ et B soit contenue 3 fois dans A, 5 fois dans B : le nombre qui mesure A,

quand on prend B pour unité, est ^; le nombre qui mesure B,

g quand on prend A pour unité, est -•