Considérons maintenant trois grandeurs. A, B, C
Si deux grandeurs A, B sont commensurables à une troisième C, elles sont commensurables entre elles^ et le nombre qui mesure A quand on prend B pour unité est égal au rapport des nombres qui mesurent A et B quand on prend C pour unité.
Supposons d'abord que ces derniers nombres soient des entiers, 3 et 5, par exemple. C'est une commune mesure de A et de B,
contenue 3 fois dans A, 5 fois dans B ; le rapport de A à B est z-
GÈNËRAUTËS. 995
Supposons maintenant que les nombres qui mesurent A et B,
quand on prend G pour unité, soient des fractions; rien n'empêche
de supposer ces fractions réduites au même dénominateur; elles
3 5 seront, par exemple, égales à - et -. Dire que, si Ton prend G pour
3 5 unité, A et B sont mesurés par les nombres - et -, c'est dire que si
on divise G en 7 parties égales et que Ton désigne Tune de ces parties par G', G' est contenu 3 fois dans A, 5 fois dans B; G' est une commune mesure de A et de B; on est ramené au cas précédent, le
rapport de A à B est ^i qui est bien le rapport des fractions -^ -•
Ce théorème, avec la notation des rapports, s'exprime par l'égalité
fer
le second membre est le quotient exact des deux nombres — « -•
327. Si A est commensurable à B, et que B soit commensurable a G, A est aussi commensurable à G, et le nombre qui mesure A quand on prend G pour unité, est le produit du nombre qui mesut*e A quand on prend B pour unité par le nombre qui mesure B quand on prend Cpour unité.
Que A soit commensurable à G, c^est ce qui résulte, d'après le théorème précédent, de ce que ces deux grandeurs sont, par hypothèse, commensurables à B. Dès lors le théorème énoncé résulte du précédent : Soient, en effet, a' et b les nombres qui mesurent respectivement A et B quand on prend G pour unité; soit a le nombre qui
mesure À quand on prend B pour unité; on doit avoir a= -r ^U
par suite, a' = ab.
En employant la notation des rapports, cette proposition s'exprime
par l'égalité
dans laquelle le second membre est le produit des deux nombres -, —
On remarquera d'ailleurs que cette proposition est intuitive quand
les nombres a, b sont entiers; si a, b sont des fractions, on peut
supposer que le dénominateur de la première fraction soit égal au
numérateur de la seconde; si Ton a par exemple a =r -, ^ =:-, c'est
que A s'obtient en divisant B en S parties égales et en prenant 3 de ces parties ; désignons par B' le cinquième de B, A est égal à 3 fois B'; de même B s'obtient en divisant G en 7 parties égales et en prenant 5 de ces parties; le 5'*'"* de B ou B' est donc le 7***"* de C; en d'autres termes, A s'obtient en divisant C en 7 parties égales et en prenant 3 de ces parties; la mesure de A, quand on prend G pour
3 3 5 unité, est donc = = ^ X =•
328. Le théorème précédent contient comme cas particulier les théorèmes suivants, qui sont d'ailleurs faciles à démontrer directement :
Une grandeur A, n fois plus grande que la grandeur B, c'est-à-dire égale à la somme de n grandeurs égales à B, est mesurée par un nombre n fois plus grand que le nombre qui mesure B; soit en effet G l'unité, et soit b le nombre qui mesure B; A, quand on prend B pour unité, a pour mesure n, donc A, en prenant G pour unité, a pour mesure ô x n.
Une grandeur A, n fois plus petite que la grandeur B, c'est-à-dire égale à la n'^"*° partie de B, est mesurée par un nombre n fois plus petit que le nombre qui mesure B.
Soit, en effet, G l'unité, et soit b le nombre qui mesure B; le nombre
qui mesure A quand on prend B pour unité est -; le nombre qui me-
I b sure A, quand on prend G pour unité, est donc - x ô = —
II n
329. Les raisonnements précédents laissent échapper le cas 3^ du n** 323, le cas d'une grandeur incommensurable à l'unité. Il n'y a pas alors de nombre entier ou fractionnaire qui la mesure. Soit A une grandeur quelconque. Supposons que A contienne ;> fois l'unité, c'est-à-dire soit égal ou supérieur à la somme de p grandeurs égales à l'unité, mais que A ne contienne pas l'unité p-\-i fois : on dit que le nombre entier p est la mesure approchée de A, à une unité près par défaut.
Plus généralement, divisons l'unité en q parties égales; soit C l'une de ces parties. Supposons que A contienne ^j fois la grandeur C
et ne contienne pas p-^-l fois la même grandeur. On dira alors
que - est la mesure approchée de A à - près par défaut.
La mesure approchée et la mesure vraie se confondent si C est contenu exactement p fois dans A. Mais, dans tous les cas, si Ton a divisé Tunité en un très grand nombre de parties égales, en sorte que chacune de ces parties soit très petite, les grandeurs mesurées
p n -1-1 par les nombres -, différeront très peu de A. Il peut se faire
même que cette différence soit entièrement insensible k nos sens,
aidés par les instruments de mesure les plus délicats. Dès lors il n'y
a aucune raison pour ne pas remplacer A par cette grandeur, mesu*
rée par le nombre -, qu'on n'en saurait distinguer. C'est ce que l'on
fait en réalité : on ne mesure jamais de grandeurs incommensurables à l'unité, on leur substitue d'autres grandeurs, qui n'en diffèrent pas sensiblement, et qui sont commensurables à l'unité : ce sont celles-là qu'on mesure. Au surplus toute mesure réelle est forcément inexacte, ou plutôt, on appelle exactes les mesures pour lesquelles Terreur dont elles sont entachées est de celles que les instruments de mesure ne permettent pas d apprécier.
Enfin, cette subdivision de Tunité en un nombre quelconque de parties sur laquelle nous avons fondé l'idée de mesure est purement théorique. On ne peut avoir à sa disposition des instruments comportant ainsi toutes les subdivisions possibles; en fait, on se contente de diviser l'unité en un assez grand nombre de parties égaies, d'après une loi déterminée, d'ailleurs arbitraire, et en négligeant les quantités plus petites que l'une de ces parties, on substitue à la grandeur que l'on veut mesurer une autre que l'on regarde comme la somme d'un nombre entier de ces parties de l'unité.
Le lecteur admettra sans peine la légitimité de ces substitutions ; mais une objection peut se présenter à son esprit : si sur ces nombres, qui ne représentent qu'à peu près les grandeurs que l'on considère, on effectue des calculs, les résultats de ces calculs mériteront-ils quelque confiance? Pourra-t-on les regarder aussi comme des mesures approchées pour les grandeurs auxquelles on les ferait correspondre légitimement si les nombres primitifs étaient des mesures exactes? Les développements qu'on a donnés dans le chapitre VIII sur les calculs approchés ont dû l'habituer déjà à cette idée qu'une légère modification dans les données d'un calcul numérique n'en altère que légèrement les résultats, et permettent.
au moins dans un certain nombre de cas, d'obtenir une limite de l'erreur commise sur les résultats, quand on connaît une limite des erreurs commises sur les données. A la vérité, les raisonnements de ce chapitre supposent toujours Texistence de nombres exacts, et dans le cas où Ton a affaire à des grandeurs incommensurables à Tunité,. les nombres qui mesurent ces grandeurs n'ont pas été défmis, ils ne le seront qu'au chapitre XII, qui, dans un ordre logique, devrait précéder celui-ci; on verra alors que les conclusions relatives aux calculs approchés subsistent.
Quoi qu'il en soit, sans nous embarrasser pour le moment de ces difficultés, nous supposerons dans ce qui suit que les mesures sont exactes, et nous allons expliquer comment on peut les réaliser.
330. Dans la pratique, on fixe habituellement une unité que Ton appelle unité principale^ et on lui adjoint un système ^'unités secondaires ; les unités secondaires sont des multiples ou des sousmultiples de l'unité principale, c'est-à-dire qu'elles s'obtiennent en ajoutant ensemble plusieurs grandeurs égales à l'unité principale, ou en divisant celle-ci en parties égales.
Considérons en particulier les multiples et sous-multiples qui correspondent au système décimal de numération.
Ayant donné un nom à l'unité principale, on nomme les multiples obtenus en répétant cette unité 10, 100, 1000, 10000 fois, en faisant précéder ce nom des préfixes (d'origine grecque) déca^ heclo, kilo, niyria; chacun de ces multiples est égal k dix fois celui qui le précède; on nomme les sous- multiples de l'unité obtenue en la divisant en 10, 100, 1000 parties égales, en faisant précéder le nom de l'unité des préfixes (d'origine latine) déci, cenii, milli : chacun de ces sous-multiples est égal à dix fois celui qui le suit. Ainsi , en appelant mètre l'unité de longueur, les multiples du mètre, de dix en dix, s'appelleront décamètre, hectomètre, kilomètre, myriamètre; ses sous-multiples s'appellent décimètre, centimètre, millimètre. En rangeant ces diverses unités dans Tordre myriamètre, kilomètre, hectomètre, décamètre, mètre, décimètre, centimètre, millimètre, on peut dire que chacune est égale à 10 fois celle qui la suit, ou à la dixième partie de celle qui la précède. On peut imaginer, théoriquement, que cette série de noms soit prolongée indéfiniment dans un sens ou dans un autre, et qu'on ait à sa disposition des instruments , des règles par exemple , dont la longueur soit égale à chacune des unités principales ou secondaires.
331. Soit maintenant à mesurer la longueur d'une droite quelconque AB,
On mesurera d'abord cette longueur, à une unité près, avec la plus grande de celles des unités secondaires ou principales qui est contenue dans AB, en plaçant, par exemple, bout à bout, le long de AB, des règles égales à cette unité, à partir du point A; le nombre de règles ainsi placées sera inférieur à dix, sans quoi on aurait pu se servir d'une unité plus grande pour mesurer AB; supposons par exemple, que Tunité secondaire considérée soit le décamètre, et que AB en contienne 7, non 8; en plaçant 7 règles, égales à un décamètre, les unes au bout des autres, à partir du point A, Textrémité de la 7'*"* règle sera un point A, qui, en général, ne coïncidera pas avec le point B, mais la longueur de A^B sera moindre qu'un décamètre; on mesurera cette longueur, qui ne contient pas dix mètres, avec un mètre, comme on a mesuré AB avec un décamètre ; supposons que A^B contienne 5 mètres, et non 6 ; c'est que en plaçant 5 mètres, bout à bout, à partir du point Aj, on arrive jusqu'à un point A, qui, en général, ne coïncide pas avec B, mais tel que AjB soit moindre que un mètre, ou dix décimètres.
On mesurera A^B avec le décimètre, comme on a mesuré AjB avec le mètre ; supposons que A^B contienne 3 décimètres et n'en contienne pas 4, et désignons par A, l'extrémité du 3'^™* des décimètres placés bout à bout, à partir du point A/, supposons que A3B contienne 4 centimètres et non 5, et, en désignant par A^ le point où Ton parvient ainsi, que A^B contienne 8 millimètres ; on parvient ainsi en un point A^ qui sera à une distance du point B moindre qu'un millimètre ; nous supposons que les deux points Ag et B coïncident; leur dislance, sûrement, sera peu appréciable, et, pour réaliser les mesures que Ton vient d'imaginer, en ne faisant pas d'erreur plus grande qu'un millimètre, il serait nécessaire de prendre de singulières précautions pour placer bien bout à bout, en ligne droite, les règles respectivement égales aux unités secondaires ; il faudrait en outre que ces règles eussent été construites avec une rare précision, puis tenir compte de leur dilatation par la chaleur, etc. Dans le cas que nous citons, on peut admettre que l'erreur commise, en remplaçant le point B par le point Ag, sera sûrement inférieure aux erreurs d' observation, ienanlk l'imperfection des instruments ou à la façon dont on les emploie, même si l'on prenait des précautions qu'il faudrait pinceurs pages pour décrire.
Quoi qu'il en soit, nous regarderons la grandeur AB comme la somme de 7 décamètres, 5 mètres, 3 décimètres, 4 centimètres, 8 millimètres : le nombre qui la mesure quand on prend le mètre pour unité est 75,348; car ce nombre est bien la somme de 7 fois dix
unités, de 5 unités, 3 dixièmes d'unilé, 4 centièmes d'unité, 8 millièmes d'unité, et mesure par conséquent la somme de 7 décamètres, 5 mètres, 3 décimètres, 4 centimètres, S millimètres.
Observons que, d'après la même façon dont on a opéré, les nombres 7; 75; 753; 7534; 75348, regardés comme représentant respectivement des décamètres, des mètres, ..., des millimètres, représentent la mesure de la longueur considérée approchée à un décamètre, un mètre, ..., un millimètre près, par défaut.
On voit comment la possession d'un système d'unités secondaires et principales permet la mesure d'une longueur d'une manière systématique, et la. détermination, chiflFre par chiffre, du nombre qui mesure cette longueur, en commençant par les plus hautes unités. Le lecteur observera que la marche suivie est en quelque sorte l'inverse de celle qu'on a décrite en exposant la numération écrite. Dans la pratique la façon d'opérer n*est pas tout à fait celle que l'on a décrite. On ne se sert pas, par exemple, de règles de dix mètres, mais bien de chaînes d'un décamètre, au moins dans les mesures grossières*; on ne place pas des règles distinctes bout à bout; on se sert plusieurs fois de la même, en notant à chaque fois le point où elle commence, celui où elle finit; enfm ces règles portent elles-mêmes des subdivisions : ainsi le mètre est divisé en 10, 100, 1000 parties égales, ce qui dispense d'employer des règles trop petites; on n'en construit point, par exemple, qui soient égales à un centimètre ou à un millimètre. Enfin, répétons encore une fois que, dans les mesures de précision, il y a toute une suite de précautions à prendre dont ce n'est pas ici le lieu de parler.
332. Revenons à la longueur dont on a décrit la mesure plus haut, et qui était mesurée, en prenant le mètre pour unité, par le nombre décimal 75,348.
Chaque chiffre de ce nombre a en quelque sorte une signification concrète ; les chiffres 7,5,3,4,8 représentent respectivement des décamètres, des mètres, des décimètres, des centimètres, des millimètres. On en déduit immédiatement le moyen d'écrire le nombre qui mesure la longueur considérée quand on prend pour unité le décamètre, Thectomètre, le myriamètre, ... ou le décimètre, le centimètre, le millimètre, ... : il suffira d'avancer vers la gauche, ou vers la droite, la virgule de un, deux, trois, ... rangs, après avoir placé (s'il était besoin) des zéros à la droite ou à la gauche du nombre 75,348, ce qui n'en altère pas la valeur.
1. En réalité, l'emploi d'uno chaîne d'arpcnleiir pour évaluer une longueur que ron voudrait mesurer à un millimètre près serait tout il fait illusoire.
