ASK

Le 28

Considérons, par exemple, la façon dont b,, b, et a, se déduisent de a, ; désignons par «: le dernier chiffre de a; ; on a

) { B= + y DRE oo?

Sauf dans le cas où «, est un 9 et où, ainsi, «+1 est égal à 10, b; est plus petit que b,; si « —=9, le dernier chiffre de b, est un 0 et b, est égal à b..

218. Notion de limite. — Soit À une fraction quelconque ; soient, en général, @, et b, ses valeurs approchées par défaut et par excès à

ETIZ près ; on aura

An LA <Ün, On — = QG:

la différence entre A et l'un ou l’autre des nombres an, 0, est au plus

égale à Tor ; on peut prendre n assez grand (n° 162, p. 182) pour que cette fraction soit plus pelite que tel nombre que l’on voudra, car n peut êlre pris assez grand pour que 10” dépasse tel nombre que l’on veut; c’est ce qu on exprime en disant qu'on peut approcher autant que l'on veut d'une fraction quelconque, soit en moins, soit en plus, au moyen d'une fraction décimale. Ces valeurs approchées suffisent dans les calculs pratiques ; c’est un point sur lequel je reviendrai plus lard.

Si, par exemple, on veut des fractions décimales dont la différence

avec —— soit moindre que 08 703 » on commencera par substituer à

ce dernier nombre un nombre plus petit qui soit l'inverse d’une puissance de 10, par exemple #) an LE 3 >< 100000 105 ?

les deux fractions décimales 4,42857 et 4,42858 sont approchées 1 l

de —- à os Près, l’une par défaut, l'autre par excès, elles répon-

dent à la question; il en sera de même évidemment des fractions

- qui viennent après #,42857 et 4,42858 dans les suites indéfinies (!) des

valeurs approchées de TF par défaut et par excès.

1. Le mot indéfinie veut dire qu'après chaque terme de la suite, il y en a un autre.

D'une facon générale, si l’on se donne un nombre s aussi petit qu’on le veut, on peut lui faire correspondre un nombre naturel », tel que les différences entre A et a,, entre A et n'importe lequel des nombres qui viennent après a, dans la suite des valeurs approchées par défaut, soient moindres que «; de même aussi, la différence entre A etb,, entre A et n'importe lequel des nombres qui viennent après b dansla suite des valeurs approchées par excès, sont moindres que «. C’est ce qu’on exprime en disant que a, et b, ont pour limite A, quand x grandit indéfiniment.

On s’exprime aussi quelquefois de la façon suivante :

La suite indéfinie as, &2, ...dn,… des valeurs approchées par défaut

d’une fraction ordinaire À à 70° 100 ur Près, a pour limite ù.

cette fraction ; de même aussi la suite b,, be,..., bn,... des valeurs approchées, par excès, de la même fracton A, aux mêmes ordres, a pour limite cette fraction. :

219. Considérons en général une suite indéfinie de nombres &, C2, An,.… tels que l’on sache calculer l’un quelconque d’entre eux connaissant son rang ; on dira que cette suite a pour limite un nombre A, ou mieux que a à À pour limite quand x croît indéfiniment,

afin de dire, en gros, que @, est très voisin de À quand n est très

grand, aussi voisin qu'on le veut pourvu que n soit suffisamment grand. Toutefois ces façons de parler ne sont pas assez précises ; non seulement le lecteur peut demander ce que c’est qu’un nombre très grand ; mais encore il importe de faire entrer dans’la définition

du mot limite cette idée que la différence entre A et @, très petite.

quand x atteint une valeur très grande, reste es petite quand % dépasse cette valeur.

. D'une facon précise, on dira que a à pour limite À quandn grandit indéfiniment, si à chaque nombre donné, aussi petit qu'on veut,

e, On peul faire correspondre un entier n, tel que la différence () Ù q

entre À et an ou l’un quelconque des lermes qui suivent ax soit toujours moindre que €.

Par exemple 1 + roue

indéfiniment: on dit la même chose en disant que la suite indéfinie,

ue 4 > n +1 9) , 3 , % D: fee 3 TR 8

, a pour limite 1 quand x grandit

1. La différence peut être À — an, ou an — À suivant que an est plus petit. ou plus grand -que À.

CPAS RES

a pour limite 1; il en est de même des suites

LT a Sa NAT d D 7 On +1

mt Ac 6 ? .…., NE:

Cette notion de limite, que l’on rencontre ici pour la première fois en Arithmétique, est très importante.

220. Remarquons que, si l’on réduit en fractions décimales deux fractions différentes A, A/, en poursuivant l’opération indéfiniment, on finira nécessairement par trouver des fractions décimales différentes: en d’autres termes, il est impossible que, en cherchant

pour les deux fractions les valeurs approchées par défaut à 70 :

1 « A £ T0 ? “> A0” près, on tombe sur la même suite &:, d:,..., An, .…….

En effet, si ces deux fractions conduisaient à cette même suite, elles

WE D à à 1 devraient être comprises toutes deux entre ax et &än + Ar leur , NP te 1 différence devrait donc être inférieure à Ame quel que fût n, et cela

; : nr 1 est impossible, puisqu'on peut prendre n assez grand pour que T7

soit plus petit que la différence entre A el A’.

: $ 3. — Fractions décimales périodiques.

224. Nous avons vu que deux cas peuvent se présenter, quand on cherche les fractions décimales approchées de la fraction ordi-

naire — par défaut à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; … près : l'opération peut se

terminer ; c’est ce qui arrive quand il existe une puissance de 10 telle que, en multipliant a par cette puissance, le produit soit divisible par b; dans le cas contraire, elle peut être poursuivie indéfiniment.

Il me reste à faire quelques observations sur la façon dont se suivent les chiffres dans les valeurs approchées, observations qui sont d’ailleurs plus intéressantes au point de vue théorique qu'elles ne sont utiles dans la pratique.

On peut se borner au cas où le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur ; s’il était plus grand, on substituerait à

ce numérateur le reste de sa division (au sens de la théorie des nombres entiers) par le dénominateur ; en continuant l'opération, on trouverait évidemment les mêmes chiffres décimaux.

Considérons, par exemple, la fraction Le on est bien dans le cas. où l’opération ne se termine pas, puisque cette fraction est irréducble et que son dénominateur 14—2>%<7, décomposé en facteurs premiers, contient un facteur premier 7, autre que 2 ou 5; en lui appliquant la règle du n° 212 (p. 241), on est amené à faire l’opération figurée ci-dessous :

On a trouvé comme dividendes partiels

He A successifs 130, 40, 120, 80, 100, 20, 60, 40: 7 1 0,9285714 à partirde ce dernier, qui a été déjà obtenu, 40 il est clair que les opérations vont se repro- 28 duire exactement comme elles se sont pro-

SP duites à partir du moment où on a obtenu

une première fois ce dividende partiel, c’est- :

cure à-dire qu'on retrouvera dans le même ordre

8 0 les dividendes partiels 120, 80, 100, 20, 60,

70 40, et, au quotient les chiffres 9, 8, 5, 7, 1,

4, et ainsi de suite indéfiniment. Cette cir-

98 constance pouvait être prévue, car les divi-

dendes partiels proviennent des restes par-

20 = üels par l’adjonction d’un zéro : or ces restes

14 sont nécessairement plus petits que 14 et

60 différents de zéro; ils ne peuvent donc être

5 6 que les nombres 1, 2, 8, ..., 12,13: au bout

AE de 13 opérations partielles au plus, on devait

4 0 donc retomber, soit sur un reste déjà obtenu,

soit sur le numérateur même de la fraction

dont on est parti; à partir de ce moment, les opérations partielles

se reproduiront périodiquement toujours les mêmes, et l’on n’aura

aucune peine à écrire la fraction décimale approchée par défaut de la fraction donnée, avec autant de chiffres que l’on voudra.

Si, dans l'exemple précédent, on veut 12 chiffres décimaux, on

écrira :

222. On appelle fraction décimale périodique un symbole écrit comme une fraction décimale ordinaire, mais où l’on imagine une suite indéfinie de chiffres décimaux qui, à partir de l’un d’entre eux.

se reproduisent périodiquement, toujours les mêmes et dans le même ordre. | L'ensemble des chiffres qui se reproduisent est ce qu’on appelle la période de la fraction décimale périodique. Si l'on considère la fraction décimale périodique

0,92857142857142857142..., où les chiffres 2, 8, 5, 7, 1, 4 se reproduisent indéfiniment, on dit qu’elle est engendrée par la fraction ee , ou que la fraction e en est la fraction génératrice, c’est-à-dire qu'on est conduit à ce symbole en cherchant les valeurs approchées de à ee . près, par défaut, et en imaginant que les opérations soient continuées

indéfiniment. La période de cette fraction décimale périodique est le nombre 285714; en prenant les n premiers chiffres décimaux, on a

LR la fraction décimale approchée de T4 à TG près. Cette valeur appro-

13 LE chée, quand n croît indéfiniment, a 7 pour limite.

Les fractions décimales périodiques se divisent en deux classes : les fractions décimales périodiques simples, pour lesquelles la période commence immédiatement après la virgule : telle la fraction périodique

0,36363636., à période 36, et les fractions périodiques mixtes, où la période ne commence pas de suite après la virgule ; telle est la fraction déci-

ARS male périodique engendrée par la fraction 7. Dans une fraction

périodique mixte, les chiffres placés entre la virgule et la période sont dits irréguliers. Leur ensemble forme la partie irrégulière de la fraction périodique mixte.

Toute fraction décimale périodique a-t-elle une fraction génératrice ?

Si elle en a une, elle n’en a qu'une, puisque (n° 220, p. 249) deux fractions différentes engendrent nécessairement des suites différentes de fractions décimales approchées par défaut à 0,1; 0,01 ; 0,001 ; .. pres. ;

293. Recherche des fractions génératrices. — Considérons d'abord le cas d’une fraction décimale périodique simple, dont la partie

entière soit nulle, par exemple, la fraction décimale périodique 0,363636, .

Œ < La fraction ordinaire à termes entiers 7 sera sûrement la tract

génératrice de la fraction décimale périodique 0,363636..., si, en . réduisant la fraction, on trouve comme partie entière 0 (ce qui oblige à supposer a < b), comme premiers chiffres décimaux 8 et 6,

puis comme reste le nombre a lui-même, de façon à retomber ensuite, au quotient, sur les mêmes chiffres 3 et 6. Puisque, pour calculer deux chiffres décimaux, on a dû ajouter deux zéros à droite de a,

cela revient à dire que le quotient, au sens de la théorie des nombres

entiers, de la division de a >< 100 par b est 36 et le reste a; on a «

donc, s’il en est ainsi :

a >< 100 = b >< 36 + a; | en retranchant «& des deux membres de cétte égalité, on obtient : 109030:

et réciproquement cette dernière égalité ou la suivante a 36 | Dee 90

entraîne la première.

Ü 1780 Dee :

à gg > On aura a><100 = b >< 36 + a, et comme a est plus peut

que b, puisque 36 est plus petit que 99, on voit que, en divisant a><100 par b, au sens de la théorie des nombres entiers, on aura pour quotient 36 et pour reste a.

Ainsi gg CSt la fraction génératrice de la fraction décimale pério-

dique simple 0,363636..….

| Notre raisonnement est en défaut pour la seule fraction décimale ‘ périodique simple 0,99999... ; puisque, alors, en essayant de former une fraction génératrice .

On peut donc énoncer la proposition suivante : :

Toute fraction décimale périodique simple dont la partie entière est 0 et dans laquelle tous les chiffres de la période ne sont pas des 4 admet une fraction génératrice dont le numérateur est formé par

comme tout à l'heure, on aurait a = b.