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la période, et le dénominateur composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.

224. Si l'on appliquait cette règle à la fraction décimale périodique simple 0,999..., on trouverait 1 comme résultat, et il convient de remarquer que 1 est la limite de la suite indéfinie formée par les nombres 0,9 ; 0,99 ; 0,999; …., puisque les différences entre 1 et les nombres de cette suite sont respectivement 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; .…

Il est aisé de déduire de là, en répétant le raisonnement du n° 220 (p. 249), que la fraction décimale périodique 0,9999.. n’a pas de fraction génératrice. Si cette fraction génératrice existait, elle devrait être comprise entre 0,9 et 0,9 + 0,1 — 4, entre 0,99 et 0,99 + 0,01 — 1, entre 0,999 et 0,999 + 0,001 — 1, etc. ; sa différence avec 1 devrait être moindre que

1 DD ! À 10° 100° 1000 et, en général, moindre que Tor? quel que füt n ; or, cela

est impossible, puisque l’on peut prendre n assez grand pour que soit moindre que la différence entre 1 et la fraction génératrice que l’on suppose exister.

295. Laissons de côté ce cas exceptionnel. Nous avons supposé que la partie entière de la fraction décimale périodique simple était 0; il est clair que, s’il en est autrement, il suffira d'ajouter cette partie entière à la fraction formée par la règle que l’on vient de donner pour avoir la fraction génératrice de la fraction décimale périodique donnée : considérons, par exemple, la fraction décimale périodique

315,3603636. ; elle sera engendrée par le nombre fractionnaire

car si on réduit cette fraction en fraction décimale, on trouvera pour

partie entière 313 et pour reste correspondant 36, en sorte que les chiffres décimaux seront les mêmes que ceux qui proviennent de la réduction en fraction décimale de la fraction T9 ? c'est-à-dire 3636... 996. Considérons maintenant une fraction décimale périodique mixte dont la partie entière soit nulle, par exemple la fraction 0,3175363636...,

dans laquelle la période est 36 et la partie irrégulière 375 ; la fraction

engendrerait la fraction décimale 375,363636.. ; c’est-à-dire que ses valeurs approchées à 0,1 ; 0,01 : 0,001 ; 0,0001 ; … près, par défaut, seraient respectivement

les valeurs approchées à 0,1; 0,01: 0,001; 0,0001 ; .… près, par

défaut, de la fraction ordinaire \