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et que l’on en divise tous les termes par b, les restes se reproduiront périodiquement. Le nombre de termes contenus dans une période est le plus petit entier n tel que a — 1 soit divisible par à. (On reviendra sur ce sujet dans le chapitre final.)

204. Si a et b sont premiers entre eux et premiers à 10 et si m, n sont respectivement les nombres de chiffres des périodes dans les fractions décimales périodiques engendrées par deux fractions irréductibles dont les dénominateurs sont a et b, toute fraction irréductible dont le dénominateur est ab engendrera une fraction décimale périodique dans laquelle le nombre de chiffres de la période sera le plus petit commun multiple de m et de n. Tel sera le cas, en particulier, pour la somme des deux fractions proposées.

202. Quels sont les dénominateurs des fractions irréductibles moindres que 1 qui peuvent servir de fraction génératrice à des fractions décimales périodiques simples dont les périodes aient un, deux ou trois chiffres ?

203. Trouver les dénominateurs des fractions irréductibles moindres que 1 qui, réduites en fractions décimales, donnent naissance à une fraction décimale périodique mixte qui a deux chiffres irréguliers et une période de trois chiffres.

204. Etant donné un nombre entier quelconque a, on peut, en écrivant d’abord des 9 puis des 0, former un nombre qui soit divisible par a.

205. Etant donné un nombre entier a premier à 30, on peut trouver un nombre dont tous les chiffres soient des 1 et qui soit divisible par a.

Etant donné un nombre impair n, il existe un nombre entier n tel que 27 —1 soit divisible par a. (Cette proposition est aussi bien un cas particulier de celle qui est énoncée dans l'exercice 200.)

sance à une fraction décimale périodique dans laquelle la période ait un nombre pair 2n de chiffres, la somme du nombre formé par les n premiers chiffres de la période et du nombre formé par les n derniers sera un nombre dontles n chiffres seront des 9.

207. Si F est une fraction irréductible donnant naissance à une fraction décimale périodique simple dont la période ait d — 1 chiffres, et si l'on range sur un cercle, d'après leur ordre, les b— 1 chiffres, ou les b — 1 restes partiels correspondants, chacune des figures ainsi obtenues restera la même quel que soil le numérateur a. Si l’on a effectué la réduction en fraction décimale pour une pareille fraction, on n'aura plus aucun calcul à faire pour effectuer la réduction de n'importe quelle autre fraction dont le numérateur sera une nombre premier ab et inférieur à b. Cette circonstance se présente en particulier pour les nombres b —7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97.