CHAPITRE VI CALCULS APPROCHES

$ 1. — Valeurs approchées. — Définitions diverses.

949. Nous avons vu comment les calculs faits avec des nombres décimaux ont la plus parfaite ressemblance avec les calculs faits avec des nombres entiers. Au lieu de calculer avec des fractions, il semble préférable de calculer avec des nombres décimaux, de manière que toutes les additions, soustractions, multiplications et divisions portent sur des nombres décimaux ; toutefois si l’on veut procéder ainsi, on est obligé de remplacer, le plus souvent, les fractions et les quotients exacts par des valeurs approchées ; les calculs ainsi faits ne peuvent conduire qu’à des résultats approximatifs. D'un autre côté, les nombres décimaux que l’on emploie peuvent avoir un grand nombre de chiffres décimaux; ce nombre s'augmente considérablement, dans les calculs, si l’on a, par exemple, à effectuer des multiplications ; alors les derniers chiffres décimaux peuvent représenter des unités tellement petites qu'elles n'offrent aucun intérêt dans la pratique; ces dernières décimales peuvent n’inspirer aucune confiance, si les calculs proviennent de données qui ne sont elles-mêmes qu'approchées, et l’on peut penser avec raison qu'en les déterminant, on a fait des calculs inutiles. On voit se poser divers ordres de questions : quand on fait des calculs exacts sur des nombres qui ne sont qu'approchés, quel est le degré de confiance que méritent les résultats ? Si l'on veut avoir des résultats suffisamment approchés, quel degré d’approximation faut-il avoir dans les données, et, en particulier, avec combien de décimales doit-on connaître ces données? Combien de décimales convient-il de conserver aux résultats du calcul? Comment doit-on s'y prendre pour éviter autant que possible des calculs laborieux et inutiles ?

Les questions de ce genre, auxquelles on va essayer de répondre, se posent d’une façon plus pressante, s’il se peut, pour les pro=

blèmes d’ordre pratique. Les données des calculs à faire ne sont alors presque jamais exactes ; souvent même le mot exactn'a pas de signification précise. Où commence et où finit cette longueur que je prétends mesurer? Le résultat d’une mesure sera regardé comme satisfaisant si l'on est assuré que la grandeur à mesurer est comprise entre certaines limites (!), suffisamment rapprochées.

243. Erreur. — Lorsqu'on substitue à un nombre exact A un nombre approché A', l’erreurest la différence entre A et À’; elle est A —A! ou A! — A suivant que A est plus grand ou plus petit que A’, suivant que À’ est approché par défaut ou par excès; dans le premier cas l'erreur est en moins, elle est en plus dans le second.

D'ordinaire, l'erreur n’est pas connue, non plus que le nombre exact; on connaît seulement, soit deux nombres dont on sait qu'ils comprennent entre eux le nombre exact, soit une valeur approchée et un nombre auquel on sait que l'erreur doit rester inférieure ou,

comme l’on dit, « une limite supérieure » de l'erreur; je dirai SOu-

vent « une limite » en sous-entendant « supérieure ».

Si, par exemple, on mesure une longueur rectiligne, inférieure à un mètre, avec une bonne règle divisée en centimètres, l'extrémité de la longueur à mesurer tombera, d'ordinaire, entre deux divisions et l’on aura sans peine le nombre qui la mesure, avec une erreur dont on dira qu’elle est moindre que 1, que 0,01, que 10, suivant qu’on prendra le centimètre, le mètre, le millimètre pour unité. On

n’hésitera guère pour discerner les valeurs approchées, par défaut

et par excès, à un centimètre près et celle de ces valeurs qui est la plus approchée, ni même pour discerner les valeurs approchées, par défaut et par excès, à un demi-centimètre près. Mais 1l faudra que les traits de la règle soient très fins, que les extrémités de la longueur à mesurer soient bien délimités, il faudra aussi un œil exercé, pour évaluer le millimètre, à simple vue, sans autre instrument que cette règle : encore ne se trompera-t-on guère de plus de deux millimètres, surtout si la règle porte une division au milieu de chaque centimètre.

Le lecteur pourra faire des remarques analogues sur d’autres mesures.

244. Supposons, d’une façon générale, qu'on sache que le nombre exact À est compris entre lesnombres A' et AZ A"; postes d==A'"—A.

4. Il est à peine utile de prévenir que le mot « limite » est pris ici dans un sens tout différent de celui qui lui a été donné au n° 219 (p. 248) :dire qu'un nombre est compris entre les limites a, b, c’est dire simplement qu'il est compris entre les deux nombres a, b; le plus petit de ces nombres est une limite inférieure, le plus grand une limite supérieure. Peut-être vaudrait-il mieux substituer au mot « limite » un autre mot, le mot « borne », par exemple.

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On pourra prendre pour valeur approchée de A soit A’, soit A’; on sait que l’erreur est moindre que d, on sait aussi si elle est en plus ou en moins.

On peut prendre pour valeur approchée n'importe quel nombre & compris entre A’ et A’ ; le nombre A, s’il n’est pas égal à a, tombe entre À! et a ou entre a et A/ ; dans tous les cas l'erreur est moindre que la plus grande des deux différences a — A! et A! — a.

Si, en particulier, on prenait pour la valeur approchée a la demisomme (ou moyenne arithmétique) des deux nombres A’ et A, c'est-à-dire

CA o ur AA NET dr d 2 ct 2 ASE

Pl

j 2 L - f 4 d les deux différences a — A’, A! — a seraient égales à g ; On pour

; d rait alors affirmer que l'erreur est moindre que gmaisonnen

connaîtrait plus le sens.

Supposons maintenant qu'on sache que A’ est une valeur approchée du nombre exact À avec une erreur moindre que €; on pourra affirmer dans tous les cas que ce nombre est compris entre A/ — e et A! + e. Si l'on sait en outre le sens de l'erreur, on peut comprendre le nombre exact entre des nombres plus rapprochés, entre A'et A’ + :, ou entre A’ — cet A suivant que A’est approché par défaut ou par excès ; on peut alors prendre, comme valeur approchée du nombre exact, A’ +— dans le premier cas, A! — . dans le second ; chacune de ces valeurs, dans le cas où elle convient,

comporte une erreur moindre que —- ; mais on ne sait plus dans

quel sens elle est approchée.

Remarquons, en passant, que, s’il s'agit de mesures où de calculs raisonnables, la limite de l’erreur & doit toujours être petite par rapport (‘) au nombre exact A ou au nombre approché A’ ; en particulier, on n’a pas à craindre que la soustraction A! — & soit impossible.

245. Chiffres significatifs. — Très souvent le nombre approché A! est écrit dans le système décimal. J'appellerai chiffres significatifs de ce nombre les chiffres qui servent à l'écrire, abstraction faite des zéros qui peuvent se trouver à gauche et des zéros qu'on a