P—DE— FA
me |. eme | À ————
Pour calculer (‘) Q, on doit calculer N et P : la valeur de w relative à Q
doit satisfaire à la condition De 0,05 ; on prendra donc w — 0,01 et l’on
fois
1. Ii s'agit, bien entendu, de calculs approximatifs ; je me permets de ne pas le répéter à chaque
devra se rappeler que dans le calcul de ©, on s'arrêtera au chiffre des cen- ii
tièmes (1); on détermine ensuite [N] et [P] au moyen de l'inégalité
O4 a (1 < 0,05 — 0,005 ou 0,045 ; on peut prendre (n° 269, p. 293).
NL, IN=02, 9 0,45 X 9 na F
on inscrira les nombres 0,20 et 0,18 en face de N et de P dans la colonne
des erreurs.
On a ensuite à effectuer deux calculs séparés, celui de N et celui de P. On
peut les effectuer dans l’ordre que l’on veut. | $ Commençons par N; on pourra prendre w = 0,1, puis déterminer les
limites [AB] et [2C] des erreurs permises sur AB et 2 C par l'inégalité
0,3 [AB] + 32[2C] £ 0,20 — 0,05 ou 0,18;
d'où 2 [AB] Z Fe [AB] = 2,5, ROLE [2 C] — 0,002:
on écrira les nombres 2,5 et 0,002 dans la colonne des erreurs, en face
de AB et de 2C.
On a maintenant tout ce qu’il faut pour déterminer la valeur nee
de 2C dont on se servira ; il est clair que le nombre 0,25 convient ; l’erreur
qu'il comporte est moindre que 0,001 et, a fortiori, que 0,002. On écrira 0,25.
en face de 2C, dans la quatrième colonne.
Passons à AB; on prendra ici w = 1 et l’on déterminera Le limites [A]. [B] des erreurs, par l'inégalité . |
8 [A] + 4 [B] 2 2,5 — 0,5 ou 2 d'où [AT ‘ AZ 0;
on inscrira ces nombres dans la colonne des erreurs, en face de A et de B:.
ils permettent la détermination des valeurs approchées dont on se servira; -
pour À, on prendra 3,3 (avec une erreur m.hdre que 0,04) pour B, on
4. On peut, si l'on vent, dres:er une colonne pour les w, ou inscrire chaque valeur de w à côté du symbole auquel elle se rapporte. .
prendra 7,4 (avec une erreur moindre que 0,04) et l’on écrira ces nombres dans la cinquième colonne, en face de A et de B.
On calcule ensuite AB, en faisant le produit de 7,4 par 3,3, ce qui donne 24,42. Puisque w est égal à 4, on prendra 24 pour valeur approchée de AB, on écrira cette valeur dans la cinquième colonne, en face de AB.
On calcule ensuite N, en faisant le produit de 0,25 par 2#, ce qui donne 6,00 ; il n’y a pas lieu de se préoccuper ici de la valeur w — 0,1 ; le calcul du numérateur est terminé.
Passons au dénominateur P = DE — FA, pour lequel [P]—0,18; on prendra [DE] et [FA,] égaux à 0,09 et l'on inscrira ce nombre 0,09 dans la colonne des erreurs en face de DE et de FA.
Calculons DE; on pourra prendre ici w = 0,1, puis déterminer [D] et [E] par les inégalités
3 [D] + 6[E].Z 0,09 — 0,05 ou 0,04 ; on prendra
0,0 DZ, ([D]—0,006, HZ, (E]—0,003;
et l'on écrira ces nombres dans la colonne des erreurs; on prendra 5,04 (avec une erreur moindre que 0,004) pour valeur approchée de D et 2,805 (avec une erreur voisine de 0,0005) pour valeur approchée de E ; après avoir inscrit ces nombres dans la cinquième colonne, on fait le produit de 2,805 par 5,04 ce qui donne 141372; en se rappelant que, pour DE, w est égal à 0,1, on voit qu'on peut inscrire la valeur approchée 14,1 dans la cinquième colonne, en face de DE.
Pour FA,, on prendra encore w — 0,1 et on déterminera [F] et [A,] par j'inégalité
on prendra LU, /[F]—0,005, AZ, [AJ=02;
on inscrira les nombres dans la colonne des erreurs, et l’on prendra ensuite 0,09 (avec une erreur moindre que 0,003) pour valeur approchée de F et 3,3 (avec une erreur moindre que 0,04) pour valeur approchée de AÀ,; après avoir inscrit ces nombres, on fera leur produit, ce qui donne 0,297; on prendra 0,3 comme valeur approchée de FA, puis 14,1 — 0,3 — 13,8 comme valeur approchée de P. Il reste à fairé la division de 6 par 13,8; on doit s'arrêter au chiffre des centièmes (w — 0,01); en faisant l'opération, on trouve 0,43 et on constate que le dernier chiffre doit che forcé ; on est cer- {ain que le nombre 0,44 répond à la question.
$ 3 — Erreurs relatives. Observations diverses.
274. L'erreur telle qu’on l’a définie au n° 243 (p. 272) et qu’ on l'a considérée jusqu'ici est ce que l’on appelle l'erreur absolue.
L'erreur relative est le POSE de l'erreur absolue au nombre exact. ; En désignant, comme plus haut, par A un nombre exact, par A! sa | — A! A'—A valeur approchée, l'erreur relative sera donc De AE
selon que À’ sera approché par défaut ou par excès. ;
L'épithète « relative » ne doit jamais se sous-entendre. :
Dans une mesure, c'est la petitesse de l'erreur relative qui importe ; si l'erreur relative est petite, la mesure est bonne. Dans. des mesures kilométriques, une erreur de quelques décimètres est insignifiante ; une erreur d’un millimètre est importante dans l’éva- Juation d’une hauteur barométrique. |
J'écarterai entièrement la considération d'erreurs relatives qui seraient égales ou supérieures à 1 : une pareille erreur relative ne. peut pas se présenter quand le nombre approché A! est approché par défaut, puisque, alors, l'erreur absolue A — A! est inférieure au nombre exact A ; lorsque A/ est approché par excès, l’erreur relative ne peut atteindre ou dépasser 1 que si l’erreur absolue estégale ou supérieure au nombre exact. Dans les cas très exceptionnels où, . en raison par exemple de la petitesse de À, de pareilles erreurs se . trouveraient à craindre, soit dans une mesure, soit dans un calcul, iln'y a pas lieu de considérer l'erreur relative, mais bien l'erreur absolue. Une mesure où l’erreur relative dépasserait 0,1 est déjà bien grossière.
Lorsqu'on mesure une quantité, un segment de droite OM par exemple, l'erreur relative ne dépend pas du choix de l'unité. L'opération consiste, au fond, à substituer au segment OM un autre segment OM’ dont la mesure se lit sur la règle divisée. Ce qu’on a appelé l'erreur relative, c’est le rapport du nombre qui mesurerait M'M au nombre qui mesurerait OM ; c’est aussi bien le rapport de la longueur M'M à la longueur OM, lequel ne dépend pas du choix de l'unité de longueur.
Il convient encore de remarquer que si, en désignant par # un nombre quelconque, on prend le nombre KA’ pour valeur approchée du nombre A ; l'erreur relative sera la même qu’en prenant A'pour
ERREURS RELATIVES. OBSERVATIONS DIVERSES, 303 valeur approchée de A, ainsi qu'il résulte de l'égalité
kA— KA! A—A!
