CARRES — CUBES RACINE CARRÉE — RACINE CUBIQUE
$ L — Propositions préliminaires. — Carrés.
281. Rappelons d'abord les définitions et propositions que voici :
Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même. Le carré d’une fraction est une fraction. dont les deux termes sont les carrés des termes de la fraction proposée : en particulier, si la fraction proposée est irréductible, son carré, formé par la règle précédente, sera une fraction irréductible, car, si deux nombres entiers sont premiers entre eux, il en est de même de leurs carrés, et, plus généralement, de leurs puissances, quelles qu’elles soient. Le carré d’une fraction irréductible ne peut donc être un nombre entier. | |
Le carré de la somme ou de la différence de deux nombres a et b est donné par les formules
1) (a + D)? = a? + Lab + b?, (a — D}? = a? — 2ab + b?,
qui s'appliquent, que les nombres a et b soient entiers ou fractionnaires.
Si l’on a A > B, on a aussi A? > B?.
Le carréæd'un produit de facteurs s'obtient en faisant le produit des carrés des facteurs. Le carré d’une puissance d’un nombre: s'obtient en doublant l’exposant de la puissance de ce nombre : en particulier, le carré d’un nombre entier quelconque formé en faisant suivre l'unité d’un nombre quelconque de zéros, s'obtient en faisant suivre l’unité d’un nombre de zéros égal au double du
nombre de zéros que contient le nombre proposé : ainsi les carrés
des nombres 10, 100, 1000, … sont respectivement 100, 10000, 1000000, … Le carré d’un nombre terminé par plusieurs zéros s’ob-
Fu
tient en faisant le carré de ce nombre, abstraction faite des zéros, et en plaçant à la suite de ce carré deux fois plus de zéros qu'il n'y en avait dans le nombre proposé. Ainsi le carré de 5000 est le produit de 5? par 1000000 ou 25000000. :
Le carré d’un nombre entier composé de dizaines et d'unités se compose du carré des dizaines, du double produit des dizaines par les unités et du carré des unités. C’est une conséquence immédiate de l'égalité (1). Ainsi
(435) — (130+ 8) —130 +2 x<130%<5 +5? 3 982. Table de carrés. — Si dans la même égalité (1) du précédent numéro, on fait b — 1, il vient | / (a +1} = a +2a +1, (a +1} — a? = a +1.
Le carré d'un nombre entier est égal au carré du nombre entier ‘immédiatement inférieur, augmenté de deux fois ce nombre el de l'unité. Ce dernier théorème permet de former facilement une table des carrés des nombres entiers consécutifs ; c'est ce quon appelle ‘ plus brièvement une {able de carrés.
Les carrés des neuf premiers nombres
ou
se trouvent dans la table de multiplication ; ils sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.
Au lieu de continuer cette table par une suite de multiplications, on emploiera le procédé suivant, qui est beaucoup plus rapide.
Ecrivons la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, …. et audessus, la suite des nombres impairs, de cette façon :
A Sent 0, Lo 1,929 400, 647 7
Si l'on désigne par a +- 1 un nombre quelconque de la suite, 1,2, 3, 4, …, autre que 4, on voit que le nombre impair écrit au-dessus de lui est précisément 2a + 1. Le carré de 1 est 1; d'après la règle précédente, le carré de 2 = 1 + 1 s’obtiendra en ajoutant à 1 le nombre impair qui est au-dessus de 2, ce qui donne #4; le carré de 3 —9 + 1 s'obtient en ajoutant à 4 le nombre impair 5 qui est audessus de 3, ce qui donne 9; le carré de 4 s’obtient en ajoutant 7.
