PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. CARRÉS

à 9; le carré de 5 s'obtient en ajoutant 9 à 16; par une suite d'opérations pareilles, on formera une table de carrés s'étendant aussi loin qu’on le voudra. On conclut facilement de cette règle que le carré d'un nombre entier quelconque a est la somme des a premiers nombres impairs. |

C'est en appliquant cette règle quon a construit la Table IT, qui donne les carrés des 99 premiers nombres et que l'on trouvera à la fin du volume.

L'examen de cette Table montre que les carrés des nombres entiers vont en augmentant rapidement.

283. Racine carrée exacte. — La racine carrée (exacte) d’un nombre A est un nombre dont le carré est égal à À : Ainsi » est la

x 2 : j n racine carrée de 25, 3 est la racine carrée de g > parce que l’on a

Il ne peut y avoir qu'un seul nombre B dont le carré soit égal au nombre donné A; car, si l'on a B2— À, le carré de tout nombre plus petit ou plus grand que B sera plus petit ou plus grand que A. Mais quand on se donne le nombre A, il n’y a pas toujours un nombre B dont le carré soit égal à A. Ainsi on voit tout de suite qu'il n'y a pas de nombre entier dont le carré soit égal à 2 ou à 5; il nya pas non plus de nombre fractionnaire. D'une façon générale : Quand un nombre entier n’est pas le carré d'un autre nombre entier, il n’est pas non plus le carré d'une fraction, puisque le carré d'une fraction irréductible ne peut être un nombre entier.

Les nombres entiers qui sont les carrés d'un nombre entier, ou qui ont une racine carrée (exacte), s'appellent des carrés parfaits, ou plus simplement des carrés.

® Là A . 0 r . «@ Considérons de même une fraction irréductible >; elle ne peut

évidemment être le carré d’un nombre entier: si elle est le carré d’une fraction irréductible on aura

mè et la fraction étant irréductible, il faut que l’on ait a =p?, b—Q°.

a Te

Ainsi : pour qu'une fracliion irréductible soit le carré d'une fraction, il faut et il suffit qué ses deux termes soient des carrés par-

faits. La fraction dont les termes sont les racines carrées (exactes) des termes de la fraction proposée est la racine carrée (exacte) de cette fraction. |

284. Racine carrée entière. Reste. — La racine carrée à une unite près par défaut d'un nombre quelconque À est le plus grand nombre entier dont le carré soit contenu dans A.

Afin d’abréger le langage, au lieu de dire « racine carrée à une unité près par défaut », je dirai souvent «racine carrée entière ».

Le nombre 53,95, par exemple, contient 7=—49 et ne contient pas 82— 64 : 7 est la racine carrée entière de 53,95 ou, plus correctement, la racine carrée de 53,95 à une unité près, par défaut.

D'une façon générale, si l’on a à sa disposition une table decarrés où les carrés dépassent À, il suffira de chercher dans la colonne des carrés entre quels carrés tombe A; le plus petit est le carré de la racine carrée entière de A. Si À est un nombre entier qui figure dans la colonne des carrés, sa racine carrée exacte est aussi, en vertu de la définition, sa racine carrée entière.

Soit a la racine carrée entière de A : A contient le carré de tout nombre entier égal ou inférieur à a; A ne contient le carré d'aucun nombre entier supérieur à a. Réciproquement, si le carré d'un nombre entier est contenu dans A, on peut affirmer que ce nombre, est inférieur ou égal à a; si le carré d’un nombre entier dépasse À, on peut affirmer que ce ne dépasse a. |

Le carré de a est un nombre entier contenu dans A et, par conséquent, dans sa partie entière ; le carré d’un nombre enter plus grand que a n’est pas contenu dans À, ni a fortiori dans sa parte entière. Donc :

La racine carrée entière d'un nombre quelconque À est aussi La. racine carrée entière de la partie entière de A.

On a dit plus haut, par exemple, que 7 est la racine carrée tatiise de 53,95 ; c’est aussi la racine carrée entière de 53.

D’après cela, la recherche de la racine carrée entière d'un nombre quelconque est ramenée à la recherche de la racine carrée entière d’un nombre entier. |

La racine carrée, à une unité près, par défaut, du nombre quelconque A peut être caractérisée comme un nombre entier & qui vérific les inégalités

a zA<(a+ A}.

Le nombre a +- 1, le plus petit nombre entier dont le carré dépasse À, s'appelle la racine carrée de À à uneunité près, par excès.