CAT

nombre d'objets, que les nombres d'objets qu'elles contiennent sont égaux, qu'elles sont égales en nombre.

On a vu au numéro précédent que deux collections égales en nombre à une troisième sont égales en nombre entre elles; c’est le sens qu'il faut attribuer à la proposition suivante : deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux. En réalité, ces trois nombres sont le méme nombre.

Si deux collections A, B ne sont pas égales en nombre, c’est que l’une d'elles, A, par exemple, contient plus d'objets que l’autre; on dit, dans le même sens, que le nombre d'objets de A est plus grand que le nombre d'objets de B, que le nombre d'objets de B est plus pelit que le nombre d'objets de A, que dy la collection A est plus grande en nombre que B, etc. Je rappelle encore une fois que la collection À peut alors être partagée en deux collections, dont l’une est égale en nombre à B.

On dit que la collection A contient la collection B, pour dire que tous les objets de B appartiennent à A ; on n'exclut pas le cas où les deux collections n’en feraient qu’une; en d’autres termes, une collection se contient elle-même.

Si la collection A contient la collection B D tÉ/ sans lui être identique, le nombre d'objets Fig. 4. de À est plus grand que le nombre d'objets de B. On dit alors que la collection B est une partie de la collection A. Sur la figure 4, cette dernière est partagée en deux parties, la collection B et la collection C qui, réunies, reproduisent A.

Si une collection A contient une collection B qui contienne ellemême une collection D, la collection A contiendra la colleclion D; le nombre des objets de A sera plus grand que le nombre des objets de D, sauf dans le cas où les trois collections seraient identiques (n'en feraient qu’une).

On dit qu’un premier nombre contient un second nombre pour dire qu'il est plus grand que le second nombre ou qu'il lui est égal : ce langage est naturel(‘) puisque les deux nombres se rapportent

1. Ilest aussi conforme aux habitudes du mathématicien ; toutefois, il importe de remarquer qu'il comporte une certaine ambiguïté : quand on parle du nombre d'objets que contient une collcction, on veut parler du nombre (exact) d'objets qui sont dans ceile collection et non d'un nombre plus petit.

On ne peut guère écarter celle façon de parler : toutefois, pour peu qu’elle risque de donner lieu

à deux collections dont la première contient une collection égale en nombre à la seconde.

4. Suite naturelle. — Pour men une collection den d'objets, on peut prendre d'abord un seul objet, puis lui joindre un autre objet, puis leur joindre encore un autre objet, puis encore un autre, puis encore un autre, etc., jusqu’à ce qu’on ait formé la collection que l’on voulait obtenir. Inversement, on peut détruire une collection quelconque en en retirant successivement, un par un, les objets qui la composent.

On peut former ainsi des collections nine objet(), un et un objets, un etunet un objets, etc. Un, unet un, un etunetun sont des noms de nombres. En s'en servant, on ne spécifie pas la nature des objets que l’on compte, on en fait abstraction : c’est en ce sens que l'on dit que un, un ei un,… sont des nombres abstraits. Au lieu des expressions, Un, un el un, un el un et un, un et un et unel un, .…., on emploie les mots un, deux, trois, quatre, qui ont la même signification ; deux est la même chose que un et un, trois est la même chose que un et un el un, ou que deux el un, quatre est la même chose que érois et un, cinq, lamême chose que quatre et un ; la suite des nombres que l’on peut ainsi former,

un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix,…,

en ajoutant chaque fois wn au nombre précédent est la suite naturelle des nombres. Cette suite est indéfinie; c'est-à-dire que, si l’on est arrivé à un terme quelconque de cette suite, on peut, en ajoutant un à ce nombre, former un nombre nouveau, qui n'avait pas encore été obtenu.

5 . Rang. — A cette suite est liée l'idée de rang : ranger des objets dans un certain ordre, c’est faire correspondre un de ces objets au nombre un, l'appeler premier ; puis faire correspondre un autre au nombre deux, l'appeler deuxième ; puis faire correspondre un autre encore au nombre trois, l'appeler eine puis faire correspondre un autre (qui n’a pas encore été nommé) au nombre quatre, l’appeler quatrième, etc... On n’opère pas autrement quand on comple les objets d'une collection, un à un; on les fait correspondre successivement aux noms un, deux, trois, quatre,.… ; quand on est arrivé au dernier objet dela collection, le nom de nombre auquel

à dune confusion, il vaut mieux ajouter « exaclement » au mot « contenir », — Voix aussi la note du n° 57 (p.55).