Dans ce cas, le mot collection est impropre

on le fait correspondre est le nombre d'objets de la collection. Si

l’on compte les mémes objets dans un ordre, ou dans un autre, on trouve toujours le méme nombre comme résultat : c’est là une proposition que je regarderai ici comme évidente, comme liée à

l'idée de nombre.

J'ai dit que, pour constater l'égalité en nombre de deux collections, on n'avait qu’à faire correspondre chaque objet de l’une à chaque objet de l’autre, à leur imposer une même marque : on peut se servir comme marques des noms de nombre de la suite naturelle ; alors on compte les collections et on constate ainsi qu’elles ont le même nombre. Le procédé primitif pour constater légalité en nombre de deux collections, et le procédé plus savant qui consiste à les compter, reviennent au même.

J'ai rattaché l’idée de rang à l’idée de nombre, ou de collection. Quelques auteurs veulent qu'on fasse l'inverse. L'idée de rang nous est fournie par la suite des événements dans le temps ; une pareille suite étant donnée, on sait ce qu'on dit quand on dit qu’un événement est postérieur ou antérieur à un autre. La notion de rang peut aussi être rattachée aux notions de droite et de gauche. Quoi qu'il en soit, on peut imaginer une suile de signes tous différents, par exemple la suite des mots un, deux, trois, qualre,.…, rangés dans un ordre déterminé; il faut entendre par là que, étant donnés deux de ces signes, on sait celui qui précède l’autre. Qu’un signe qui précède un autre précède aussi tous ceux qui suivent ce dernier, c’est une proposition qu'on doit regarder comme contenue dans l'idée de rang. Les signes de notre suite sont les nombres naturels, leur suite est la suile naturelle.

Au point de vue où nous nous plaçons, ajouter un à un nombre c’est remplacer ce nombre par le suivant, en remplaçant encore celui-ci par le suivant, on a ajouté deux au premier, etc... À ce point de vue encore, un nombre doit être regardé comme plus petit ou plus grand qu'un autre, selon qu'il le précède ou qu'il le suit.

6. Zéro. — Les nombres, a-t-on dit plus haut, permettent de répondre à cette question : combien y a-t-il d'objets dans une collection ? Pour former une collection à proprement parler, il faut au moins deux objets ; toutefois, nous avons considéré un comme un nombre : le mot un, en effet, s'offre comme une réponse naturelle dans des questions de ce genre : combien y at-il d'élèves dans cette classe? Il y en a un. Combien y a-t-il de sous dans ce portemonnaie? Il y en a wn. Si la classe élait vide, ou le porte-monnaie, il faudrait répondre zéro; zéro est aussi regardé comme un

nombre ; il signifie l'absence d’objets dans la collection, qui à vrai dire n'existe pas. Au lieu de dire qu’un nombre est zéro, on dit aussi que ce nombre est nul. Si l’on voulait faire figurer zéro dans la suite naturelle des nombres, on le placerait en tête, avant un, et l'on écrirait :

zéro, un, deux, trois, quatre,

Toutefois l'habitude, à laquelle je me conformerai, est de réserver le nom de suite naturelle à la suite un, deux,..., et le nom de nom:bre naturel aux nombres qui figurent dans cette suite, à l'exclusion du nombre zéro (t). GA

7. Chiffres. — Au lieu des mots zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, on emploie avec la même senc AHon les chiffres :

Nous verrons, tout à l'heure, comment, au moyen de ces chiffres,

on peut figurer tous les nombres. Il est clair que, pour figurer les

premiers nombres, on aurait pu employer tels autres signes que

l'on aurait voulu, pourvu que ces signes fussent différents les uns

des autres : on aurait pu, par exemple, se servir des lettres de l'alphabet, a, b, c, d, e,.…, dans l'ordre habituel, ou dans un autre ordre.

Chacun a entendu parler des procédés dits cryptographiques, qui consistent à remplacer dans l'écriture, d’après une convention faite

à l’avance, certaines lettres par des chiffres; on peut aussi bien.

faire de l’arithmétique en remplaçant certains chiffres, ou certains nombres, par des lettres. On peut d’ailleurs changer de convention toutes les fois qu on veut, pourvu qu on en prévienne.

Je me servirai souvent de lettres pour désigner des nombres : ainsi au lieu de dire : un certain nombre, je dirais : le nombre a, ou plus brièvement a, et lorsque, au même endroit, il sera, à plusieurs pUReS question du nombre a, ce sera toujours du même nombre qu'on voudra parler. De même, au lieu de dire : deux cerlains nombres, le premier et le second, je dirai : les nombres a el b, ou plus brièvement : a et b.

Avec un peu d'habitude, on verra combien l’emploi de pareils symboles simplifie le langage et éclaire le raisonnement.

8. Numération écrite. — Je revicndrai plus tard sur les règles de

4. Ainsi zéro est un nombre entier, mais n’est pas un nombre naturel. Je dois prévenir aussi le Jecteur que le mot entier peut s'appliquer aux nombres négatifs dont il n'est pas question ici.

la numération parlée et de la numération écrite, avec lesquelles le lecteur est déjà familier ; mais 1l me sera commode d’avoir expliqué, dès à présent, une règle qui permet de représenter au meyen des dix chiffres écrits plus haut tous les nombres de la suite naturelle, de constituer au moyen de ces dix chiffres, une suite indéfinie de symboles différents tels qu'on distingue chacun de ces symboles de ceux qui le suivent et de ceux qui le précèdent. Cette suite se décomposera en groupes : les symboles qui appartiennent à un même groupe comportent le même nombre de chiffres. On va a»prendre comment chaque groupe se déduit de celui qui le précède et comment on reconnait, sur deux symboles du même groupe, celui qui précède l’autre; il sera sous-entendu que, si un groupe précède un autre groupe, tout symbole contenu dans le premier groupe précède n'importe quel symbole contenu dans le second.

Le premier groupe est formé des neuf premiers nombres, figurés, comme on l’a déjà dit, par les chiffres 1, 2, 8, 4,5, 6, 7, 8, 9 : chaque nombre est donc figuré par un seul chiffre ; les nombres du groupe suivant seront figurés au moyen de deux chiffres ; ils s'obtiendront en plaçant successivement les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 d'abord après 1, puis après 2, puis après 3,...,(!) puis après 9 : ainsi la suite naturelle, qui commence par les symboles 1,9,...,9, se continue par les symboles 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 4718, 19,20 91, 29, 30, 31;.:, 99; la suite de ces symboies, qui commence par 10 et se termine par 99, constitue le second groupe ; les nombres du groupe suivant comporteront un chiffre de plus ; on les formera en plaçant successivement les chiffres 0, 1, 2, ..…, 9 après chacun des symboles 10, 11,..., 99 du second groupe, d’abord après 10, puis après 11...., enfin après 99; ainsi, dans la suite naturelle, le nombre 99 sera suivi des nombres

qui constitueront le nouveau groupe; le suivant s’obtiendra en plaant successivement les chiffres 0, 1, 2,..., 9 après chacun des symboles 100, 101,..., 999; d’abord après 100, puis après 101,.…., enfin après 999 ; ce dernier nombre, dans la suite naturelle, sera donc ‘suivi des nombres

1. Les points suspensifs sont destinés à remplacer les mots après 4, après 5, après 6, après 7, après 8, dont Ja succession est évidente ; ils seront ainsi employés, dans des cas où les mots ou les symboles qu'ils remplacent, sont aisément suppléés par l'esprit, parce que la loi de succession est

€vidente.

et ainsi de suite. : le groupe suivant s’obtiendra en plaçant encore

successivement les chiffres 0, 1, 2,..., 9 à la suite de chacun des symboles qu'on vient d'écrire, etc. Lt

Dans le procédé de formation de la suite naturelle qu’on vient

d'expliquer, c’est la notion de rang qui intervient essentiellement : les nombres qui s’y succèdent sont, en quelque sorte, des numéros d'ordre : ils répondent très bien aux épithètes premier, second, troi-

sième,.… qu'on désigne souvent sous le nom de nombre ordi-

naux ; les nombres un, deux, trois... regardés ainsi qu'on Pa fait tout d’abord, comme la réponse à la question combien ? sont désignés sous le nom de nombres cardinaux. ; Ilest souvent commode de se représenter le nombre zéro et les nombres de la suite naturelle comme figurés par une suite de points équidistants sur une droite, que l’on parcourt en allant, par exemple, de la gauche vers la droite, chaque point portant son numéro

d'ordre. On peut sc figurer cette droite comme l'image d'une route

partant du point 0 et bornée de kilomètres en kilomètres ; les numé-

ros 1, 2, 3,.:. sont inscrits successivement sur les bornes kilomé-

triques (fig. 5).

Di eu ÿ UNS CU 0 ee a de M UN NOTE EE

Fig. 5.

On peut encore modifier cette image, en supposant que les segments de droite compris entre deux numéros consécutifs sont de

petites barres (des allumettes, si l'on veu), placées successivement

bout à bout. J'appellerai numéro de chaque barre, le numéro qui la

termine à droite : les numéros de la première barre, de la seconde,

de la troisième, sont respectivement 1, 2, 3,..; chaque numéro indique combien il y a de barres avant lui; en passant au numéro suivant on ajoute une barre de plus ; les notions de nombre ordinal et de nombre cardinal arrivent à se confondre à peu près. …

9. Outre les chiffres et les lettres pour représenter des nombres, nous emploierons des signes abréviatifs pour exprimer des relations entre ces nombres et des opérations à effectuer sur ces nombres ;

ces signes seront définis au fur et à mesure ; je puis définir dès à

présent le signe — (égale) qui, placé entre deux nombres, exprime

que les deux nombres sont les mêmes ; ainsi, au lieu de dire que la

lettre & représente le même nombre que cinq, on peut écrire

NOTION DE NOMBRE. ÉGALITÉ, INÉGALITÉ. at

ce qui s’énonce : a égale cinq. Les deux nombres, réunis par le signe =, forment ce qu’on appelle une égalité; les deux nombres sont les deux membres de l'égalité ; le nombre de gauche est le premier membre de l'égalité, le nombre écrit à droite en estle second membre. Au lieu de dire :

« Deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux », on peut dire :

« Les deux égalités a = ce, b = c entraînent l'égalité a = b ».

Je puis définir aussi les signes <, > qui s’énoncent respectivement : plus pelit que, plus grand que, etindiquent ainsi des relations

d’inégalité : on les place entre deux nombres pour indiquer que ces

deux nombres sont inégaux, en tournant toujours l’ouverture vers le plus grand : ainsi les deux inégalités