Cette dénomination est surtout usitée quand A est entier
D'une façon générale, la recherche de la racine carrée à a prés par défaut d’un nombre quelconque A, se ramène à la recherche de
A la racine carrée entière de la partie entière de — Sa quand on «a
celte racine carrée entière, il suffit de la mulliplier par « sur avoir la racine carrée de À à a près par défaut.
On verra plus tard l'importance de la notion de racine carrée à a près par défaut quand a est l'inverse d'un nombre entier, en particulier l'inverse de 10 ou d’une puissance de 10. Je vais, pour le moment, m'occuper du cas où « est un nombre naturel et établir, dans ce cas, une proposition qui est essentielle pour la recherche de la racine carrée entière. |
286. Soit À un nombre quelconque et a sa racine carrée enlière; si « est un nombre naturel, la valeur approchée de a à a prés, par défaut, est égale à la racine carrée de À à « près par défaut.
La démonstration même va faire ressortir l'identité de cette proposition avec la suivante.
Le quotient entier de la division de a par a esl égal à la racine
“A A De « A carrée entière de Tr OU, Si l’on veut, de la partie entière de FE
Soit, en effet, en désignant par » un nombre entier, n« la valeur approchée de a à « près par défaut, en sorte que l’on ait (n° 255, p. 209). ;
(4) | nala<(n+i)x
puisque ñn « est contenu dans a, son carré est contenu dans A; puisque (n +-1)a n’est pas contenu dans a, son carré n est pas contenu dans A (n° 285, p. 315); en d’autres termes, on a
(2). naZA<(n+l}&.
Ces inégalités prouvent d'une part, que n« est la racine carrée de À à a près et d'autre part, que le nombre entier x qui, d'après les inégalités () est le quotient entier de la division de a par «, est aussi, d’après le numéro précédent, la
A racine carrée entière de —z OÙ si l'on veut, de la partie entière + de Ts ® Supposons, par exemple, A = 5872, « — 10; la partie entière
de . est 58, dont la racine carrée entière est 7, puisque 58 est
compris entre 7 et &; 7><10 est donc la valeur approchée à 10: près, par défaut, de la racine carrée de 5572; 1 est le nombre de dizaines de la racine carrée entière de 5872.
D'une façon générale, le nombre de dizaines de la racine carrée: entière d’un nombre quelconque À est la racine carrée entière de la
A ; partie entière de 00 : partie entière qui, lorsque À est entier,
s'obtient en supprimant les deux derniers chiffres de droite.
$2. — Extraction de la racine carrée.
987. La recherche de la racine carrée d’un nombre quelconque A. à « près par défaut étant ramenée à la recherche de la racine carrée entière d’un nombre entier, c’est de cette dernière recherche que je vais m occuper maintenant.
Lorsqu'un nombre entier est plus petit que 100, sa racine carrée entière est plus petite que 10; elle est l’un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; la table de multiplication, ou plutôt la table des carrés des 9 premiers nombres, permet de la déterminer immédiatement; par exemple, 48 estcompris entre 36 — 6° et 49 — 7°, sa racine carrée entière est 6.
Quand on a affaire à un nombre entier A plus grand que 100, la proposilion du numéro précédent ramène la recherche du nombre des dizaines de la racine carrée entière de A, à la recherche de la racine carrée entière d'un nombre qui a deux chiffres de moins que À, donc à un problème plus simple. Supposons que ce problème soit résolu, que l'on connaisse le nombre des dizaines de la racine rarrée entière de A, on va voir qu'il est facile d'obtenir alors le jhiffre des unités. |
Supposons que le nombre des dizaines de la racine soit 13 et soit b le chiffre des unités ; À est la somme de quatre nombres :
4° le carré de 130 ;
90 le double du produit de 130 par 0; .
3° le carré de db;
4° le reste.
La différence A—1302? ne contient plus que les trois derniers nombres : elle contient en particulier le double du produit de 130 par à : si donc on la divise par le double de 130, on aura pour quotient entier b, ou un nombre plus grand que b. Le double de 150 s'obtient en multipliant par 10 le double 26 de 13. Pour obtenir le.
quotient entier de la division de À — 130? par 26><10, on out he l'opération en deux fois (n° 62; p. 99) : chercher le quotient entier de la division de A —130* par 10, ce qui se fait en supprimant un chiffre à la droite de A—130?, puis diviser le nombre ainsi obtenu par 26. On parvient donc au théorème suivant :
En retranchant d'un nombre entier À le carré des dizaines de sa racine carrée entière, en supprimant un chiffre à la droite de la différence, puis en divisant le nombre aïnsi obtenu par le double du nombre des dizaines, on oblient comme quotient entier un nombre égal ou supérieur au chiffre des unités de cette racine(!).
Remarquons, en conservant toujours les mêmes hypothèses, que A — 130? se forme en retranchant 13? du nombre de centaines de A et en faisant suivre la différence des deux derniers chiffres de A : en effet 130? est égal à 13°>< 100.
Supposons maintenant que, en divisant par 26 À nombre des dizaines de A — 130?, on trouve comme quotient entier 7; pour savoir si 7 est bien le chiffre des unités, on pourra former le carré de 137 : si ce carré est inférieur ou égal à À, 7 est le chiffre cherché. Si l’on a A<137, on essaiera 6 en formant le carré de 136; si l'on a A > 136, 6 est alors le chiffre des unités; si l’on avait A <136°, on essaicrait 5 de la même façon, etc.
Pour faire ces essais, il Con de profiter de ce que l'on a effectué la différence À — 130. Par exemple, si l’on veut essayer 7, on écrira 7 à la suite du double du nombre des dizaines de la racine et l’on multipliera par 7 le nombre 267=—2.130 +7 ainsi formé : le produit est 2.130.7+ 7, et, si l’on y ajoutait 130%, on aurait le carré de 137; par conséquent on aura AZ 137?, ou A Z 13%? suivant que l’on aura À — 18022 267.7, ou A — 1302 < 967.7.
On voit aussi que, si l’on est dans le premier cas, c’est-à-dire si 7 est bien le chiffre des unités de la racine, pour avoir le reste, A —— 1372, il suffira de retrancher 267.7 de A — 1302. Si cette soustraction était impossible, on essaierait de retrancher 266.6, puis 265.5, …, etc., en baissant à chaque fois d’une unité le is à a
La première fois que la soustraction sera possible, le che essayé sera le chiffre que l’on cherche et le résultat de la soustraction sera le reste, dans l'opération de la racine carrée.
Il est à peine utile de dire que si, en faisant la division, on trouvait
4. On verra un peu plus loin que, si on augmentait de 1 le diviseur, le nouveau quotient entier serait une limite inférieure du chiffre des unités de Ia racine. À
un quotient supérieur à 9, c’est le chiffre 9 que l'on commencerait par essayer.
Si l'on procède comme on vient de l'expliquer, of parviendra sürement au chiffre des unités ; mais on est quelquefois tenté, pour aller plus vite, de diminuer le chiffre à ‘essayer de deux, trois, unités. Il est nécessaire alors d'avoir une règle pour reconnaître si le chiffre qu’on a essayé n’est pas trop faible. On applique la condition donnée à la fin du n° 284 (p. 315).
Supposons, par exemple, qu'on ait trouvé 7 comme quotient et qu'on veuille essayer de suite le nombre 5; 5 sera le chiffre des unités si le produit 265.5 peut se retrancher de A — 130* et si la différence est inférieure à 135.21, c’est-à-dire au double du nombre que l’on suppose être la racine, augmenté d'une unité : si la différence était égale ou supérieure à 135.2 +1, le chiffre 5 serait certainement trop faible.
288. Supposons, parexemple, qu'on veuille extraire laracine carrée de 63917235 ; le nombre de dizaines de la racine Sera la racine carrée de 639172, nombre de centaines de 63917235, et si l’on avait ce nombre de dizaines, on obtiendrait le chiffre des unités de la façon qui vient d'être expliquée.
On est donc ramené à chercher la racine carrée de 639172; le nombre de dizaines de cette racine est la racine carrée de 6391 ; le nombre de dizaines de la racine de 6391 est la racine carrée de 63 ; cette racine est donnée par la table de multiplication, elle est 7. Pour avoir le chiffre des unités de la racine carrée de 6391, on commencera par retrancher de 6391 le carré de 7 dizaines, ce qui se. fera en retranchant de 63 le carré de 7 et en faisant suivre la | différence 14 des chiffres 91, ce qui donne 1491. En séparant le derà nier chiffre à droite, on obtient 149 ; on divisera 149 par le
double de 7, c’est-à-dire par 14 ; le quotient entier est 10 ; le chiffre
des unités de la racine. carrée de 6391 est donc 9, ou un chiffre moins fort; pour essayer 9, on place ce chiffre à la suite du double - de 7 et on multiplie par 9 le nombre 149 ainsi formé : le résultat est
1341, qui peut se retrancher de 1491, la différence est 150; 9 est le
chiffre des unités de la racine carrée de 6391 ; cette racine est 79 et
le reste est 150.
19 est le nombre de dizaines de la racine carrée de 639172. Pour avoir le chiffre des unités de cette racine, on commencera par retrancher de 639172 le carré de 79 dizaines ; pour cela il suffit de faire suivre des chiffres 72 la différence 150 entre 6391 et le carré de 79; on obtient ainsi 15072. On sépare un chiffre à droite et on
divise 1507 par le double de 79, c’est-à-dire par 158; le quotient entier est 9 ; 9 est le chiffre des unités de la racine carrée de 639172, ou un chiffre trop fort. Pour essayer 9, on place ce chiffre après 1é double de 79 et l’on multiplie par 9 le nombre 1589 ainsi formé ; le produit, qui est égal à 14501, peut se retrancher de 15072 et la différence est 771 : 9 est le chiffre des unités de la racine de 639172 ; cette racine est 799 et le reste est 771.
799 est le nombre de dizaines de la racine carrée de 63017235. On retranchera 63917233 le carré de 799 dizaines, ce qui se fait en plaçant les deux derniers chiffres 35 du nombre proposé à la suite de 771. On divise ensuite 1713 par le double de 799, c’est-à-dire par 1598 ; le quotient est 4; 4 est le chiffre des unités de la racine carrée de 63917235, ou un chiffre trop fort; pour essayer 4, on place ce chiffre à la suite du double de 799 et l'on multiplie par 4 le nombre 15984 ainsi formé ; le produit 63936 peut se retrancher de 77135: la différence est 13199; 4 est le chiffre des unités de la racine de 63917935 : cette racine est 7994 et le reste est 13199. On vérifie le résultat en constatant que, si l’on ajoute ce reste au carré de 7994, c’est-à-dire à 63904036, on reproduit bien le nombre proposé 63917235.
Le raisonnement est général et il suffira d'énoncer la règle suivante, dans laquelle on a fait d’ailleurs entrer l’explication de la facon dont on dispose les calculs : le lecteur voudra bien suivre ces explications sur le tableau (p. 322) qui donne le détail des calculs pour l'extraction de la racine carrée de 63917235.
289. Règle. — Pour extraire la racine carrée d’un nombre entier, on écrit ce nombre sur une ligne horizontale, en laissant de la place à droite et en dessous. A droite du nombre on figure un angle droit, dont le petit côté est vertical, le grand côté horizontal ; c'est à l’intérieur de cet angle que l'on placera, au fur et à mesure, les chiffres de la racine carrée. On sépare le nonibre en tranches de deux chiffres en allant de droite à gauche, la dernière tranche ainsi obtenue peut n'avoir qu'un seul chiffre. En parlant désormais de ces tranches, on - supposera qu'on les parcourt au contraire en allant de gauche à droite, en sorte que c’est la première qui peutn'avoir qu'unseul chiffre.
On calcule successivement les racines carrées des nombres for. més par la première tranche, les deux premières, les trois premières tranches, etc., jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les tranches ; j'appellerai reste partiel correspondant à chaque opération le reste relatif à cette opération, c’est-à-dire la différence entre le nombre dont on a extrait la racine et Le carré de cette racine,
PS à de NS
La première opération consiste à extraire la racine carrée d’un nombre moindre que 100; le résultat est fourni par la table de multiplication ; il n'a qu'un chiffre, que l’on écrit à la place réservée à la racine, vers la gauche; on calcule le reste correspondant que l’on écrit sous la première tranche, de manière que les unités correspondantes se trouvent sur une même verticale.
Les opérations ultérieures consistent toutes dans la détermination du chiffre des unités d’une racine dont on connaît le nombre des dizaines, nombre qui, à chaque fois, est fourni par l'opération précédente. Chaque opération fournit un chiffre, que l’on écrit à la droite des chiffres déjà obtenus à la racine, de manière à compléter cette racine au fur et à mesure.
Chacune des opérations partielles, après la première, se fait comme il suit : à la suite du reste partiel correspondant à l'opération quon vient de faire, on abaisse la tranche qui suit la tranche à laquelle on s'était arrêté dans cette opération. Appelons le nombre ainsi formé dividende partiel. On néglige le dernier chiffre de droite de ce dividende, et l’on divise par le double du nombre écrit à la racine, résultat de l'opération précédente. Le quotient entier est le chiffre à essayer ; il est exact ou trop fort; pour essayer ce chiffre, on l'écrit à la suite du diviseur et on multiplie le résultat ainsi obtenu par ce même chiffre. Si le produit peut se retrancher du dividende partiel, le chiffre est bon ; sinon, on le diminue d’une unité et on essaie le nouveau chiffre de la même façon ; dès que le produit peut se retrancher du dividende partiel, on a obtenu le chiffre cherché et la différence est le reste partiel correspondant à l'opération. Il est. à peine utile de dire que si le quotient entier avait été plus grand que 9, c’est au chiffre 9 qu'on aurait commencé les essais. Les calculs relatifs aux essais se font dans l’espace laissé libre au-dessous de la racine, en plaçant ces calculs, successivement, de gauche à droite. Ceux qui concernent un même chiffre se placent les uns
au-dessous des autres.
Pour faire les essais on peut profiter de la remarque finale du n°287 (p 319).
On commence les opérations que l’on vient de décrire en abaissant la seconde tranche; on les continue en abaissant successivement les tranches de gauche à droite, jusqu’à ce qu’on ait employé la dernière tranche; le dernier reste partiel est le reste de l'opération complète.
On fait la preuve de l'opération en faisant le carré du nombre trouvé à la racine et en ajoutant le reste au résultat, on doit retrou: ver le nombre proposé.
TANNERY. o4
992 LEÇONS D’ARITHMÉTIQUE. | Voici le tableau des calculs pour l'extraction de la racine carrée de 63917235. | ) :
| Dans ce tableau, on a écrit les multiplications, et replacé les nombres à retrancher sous les nombres dont on doit les retrancher ; on peut, si l’on veut, effectuer en même temps les multiplications et les soustractions, comme lorsqu'on fait une division. Il semble inutile d’insister sur ce détail.
Dans l'exemple précédent, les essais ont réussi du premier Coup: il ne faut pas croire qu'il en soit toujours ainsi. On a placé ci-dessous le tableau détaillé des calculs pour l'extraction de la racine carrée de 30624 : les explications qui précèdent suffiront amplement au lecteur pour s’en rendre compte.
30624 |174 | 1 29 0028 206 9 5 189 61: 1728 TIVY4 NE S8 407000 1376 8 k 348 2924 1376
pa
Cet exemple suggère les remarques suivantes : la détermination du second chiffre de la racine a exigé trois essais, si l'on avait, à tout hasard, essayé de suite le chiffre 7, on se serait assuré que 17 est bien la racine carrée de 306, parce que 306 — 17 = 16 est moindre que 2.17 + 1 — 35. Mais si l’on avait essayé 6 au lieu de 7, la même règle aurait montré q ue 6 est trop faible. Enfin dans cet exemple, le reste final 348 est le double de la racine, c’est la. valeur maximum du reste.
La règle de l'extraction de la racine montre immédiatement que le nombre de chiffres de la racine carrée entière d’un nombre de 2n ou de 2n — 1 chiffres est n. Il serait aisé de démontrer cette propo-
sition directement.
290. On peut présenter la théorie de l’extraction de la racine carrée sous
- une forme plus générale qui, d’ailleurs, conduira à des méthodes plus
rapides : celles-ci supposent toujours qu’on ait calculé les premiers chiffres de cette racine, ce qu’on peut faire en appliquant la règle précédente. Soit P le nombre entier dont on cherche la racine carrée entière ; dési-
gnons par p cette racine. Désignons par A et B le quotient et le reste de la
division de P par 10*, par a et b le quotient et le reste de la division de p par 40"; on aura :
(4) « P—10%A+B, p—10ra—+b, B<10%, b< 10";
D’après le n° 286 (p. 316), a est la racine carrée entière de À; je sup-
pose que a soit connu ; je vais montrer comment on peut déterminer b au
moyen de quelques essais.
Posons
et remarquons en passant que le nombre A — a? n’est autre chose que ce qu'on a appelé le reste partiel correspondant à a dans la règle du numéro
… précédent ; il est au plus égal à 2a; B est plus petit que 10? ; on a donc (3) R < 1027 (2a +1).
Les inégalités qui caractérisent la racine carrée entière de P sont (10%a+ 06) P< (107 a + b+1) ;
. on en tire, en développant et en retranchant 10?"a°? des trois membres,
