ab ZR<10" (2a+1)(b +1) et on tire de là

@) DL TGn.S

R R HAS Grp)?

désignons par b, et b, les parties entières des seconds membres de ces der-

nières inégalités, on aura (5) DS dE;

en d’autrestermes b, et b, sont des limites supérieure etinférieure du nombre

cherché b; pour les obtenir on commence (n° 62, p. 59) par diviser R par 407, c’est-à-dire par supprimer les n derniers chiffres de R; soit R, le résultat ; on peut dire encore que R, s'obtient en faisant suivre le reste partiel A — a? correspondant à a des n premiers chiffres de B, c’est-à-dire de la première moitié des 2n chiffres de P qui n’ont pas été utilisés pour le calcul de a ; les nombres b, et b, sont les quotients entiers obtenus en divisant R, par 2a et 2a +1. * Remarquons que lorsque n est égal à 1, on retrouve pour la détermina-

tion du chiffre des unités quand on connait le nombre des dizaines, la règle ÿ

du n° 287 (p. 318), complétée par cette détermination d’une limite inférieure qu’on avait annoncée en note.

291. Première méthode abrégée. — Il est naturel de chercher à s'arranger pour que b, — b, soit aussi petit que possible, afin de diminuer les essais;

si l'on se place par exemple dans des circonstances où b, — b, soit au plus- f

égal à 1, on n’aura qu'un essai à faire puisque b sera égal à b, ou à b, — 1. Or, on a, en désignant par &,, &, des fractions plus petites que 1,

R R 10e a TP HD

d'où, en retranchant membre à membre,

DNS Ce 0 ee | en remplaçant dans le premier membre R par le nombre plus grand 1027 (2a + 1) et en tenant compte de ce que la différence entre €, ele, est moindre que 4, on arrive à l'inégalité |

b, — b, < Ou + À;

que je voulais établir.

Si, en particulier, 2a est inférieur ou égal à 10”, la différence b, — b,, qui est un nombre entier moindre que 2, sera au plus égale à 1 : c'est ce qui

arrivera si a comporte plus de n chiffres ou si, a comportant seulement

n chiffres, son premier chiffre est 5 ou un chiffre plus fort : cela revient à dire, puisque b contient n chiffres, que a comporte plus de la moitié des chiffres dé la racine carrée entière de P ou seulement la moitié, son premier chiffre étant alors 5 ou un chiffre plus fort. Dans ces deux cas, on n'aura qu’à diviser par 2a le nombre R,, formé comme on l’a expliqué plus haut; . le quotient entier b, fournit, sauf peut-être une erreur d’une unité en trop, l'ensemble des n chiffres qu’il restait à calculer. 3.

On peut d’ailleurs, pour essayer b,, profiter du reste de la division de R, par 2a, qui est égal à R, —2 ab,; en replaçant à droite de ce reste les n derniers chiffres de B (ou de R) on forme le nombre \

R, = R— 2.10" ab, = P — 1027? — 2.10 ab,

et il suffit de voir si on peut retrancher de ce nombre le carré de b,; s'il