M NT

AS

en est ainsi, b sera égal à b, ; la racine carrée entière de P sera 1074 + b, et

le reste sera R, — b! ; si la soustraction ne pouvait se faire, la racine serait 10%a + b, — 1 et le reste R; — (b, — 1)°.

Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir la racine carrée de 6391723578946702; nous avons déjà calculé (n° 288, p. 319) la racine de 63917235, et comme le premier chiffre de cette racine est un 7, qu’elle a quatre chiffres et que la racine cherchée en a huit, nous sommes dans le cas où la règle précédente s’applique. On devra à la suite du reste 13199 placer les huit derniers chiffres du nombre proposé, ce qui donne 1319978946702; puis séparer quatre chiffres à droite, ce qui donne 131997894, et diviser ce nombre par 2 X 7994 — 15988; la division est effectuée cidessous :

1319978994 115988 8256 127904 8 25 6 8256 40938 49536 31976 41280 a 0] 89629 Mars 79940 CHRASTV INR TE PER ST ET 1 SR 68161536 95928

La racine cherchée est 79948256 ou 79948255. Pour avoir un résultat certain, on fera le carré de 8256; il a été effectué à droite de la division ; il est 68161536, et ne peut être retranché du nombre 9666702 obtenu en replaçant à la droite du reste 966 de la division les quatre chiffres précédemment négligés ; la racine est 79548255 et Le reste 101401677.

292. Deuxième méthode abrégée. — Conservons les notations du n° 290 (p. 323), mais ne supposons plus 2a > 10».

On peut calculer b, et b, en divisant R, par 2a et 2a + 1; tant que, dans les deux quotients, les chiffres se trouvent être les mêmes, ces chiffres appartiennent sûrement à b puisque b est égal à b,, à b,, ou à un nombre intermédiaire. Il en est ainsi (n° 61, p. 58) tant que, dans la division de R, par 2a, les restes partiels sont supérieurs au nombre écrit au quotient. On poussera donc la division tant que cette condition sera vérifiée ; on l’arrêtera avant qu’elle ne le soit plus (!); on trouvera ainsi les 4 premiers chiffres de b; je désigne par b' le nombre formé par ces chiffres ; en les plaçant à droite de a,

1. Elle ne le sera jamais dans le cas exceptionnel où À — a? se trouverait être égal à 2a ; dans ce cas, on pourrait calculer un chiffre de plus par la méthode ordinaire. Je laisse au lecteur le soin de démontrer que, dans ce même cas, si l'on a 2a = 107, b commence par des 9 en nombre au moins égal à p.

on formera un nouveau nombre a'—10% ab, comportant # chiffres de

plus de la racine cherchée que a.

Toutefois, il importe de tenir compte, s’il y a lieu, des zéros par lesquels peut commencer le nombre d quand on le considère, ainsi qu'on a fait dans tout ce qui précède, comme comportant n chiffres. On a obtenu R, en faisant suivre le reste partiel A — a? de n chiffres en sorte que, Oues R,, le

dernier chiffre du reste partiel exprime des unités d'ordre n; le nombre

obtenu en faisant suivre le reste partiel du premier chiffre de B ou, comme on dit, en abaïssant ce premier chiffre à la suite du reste partiel, représente donc, dans B,, des unités composées d'ordre n— 1; c’est le premier dividende partiel, il fournit le premier chiffre de b (lequel peut être un 0) et sera placé à droite de a; on continue ensuite la division et, si elle permet de

calculer les £ premiers chiffres de b, on forme, en les plaçant à la droite de

a, le nouveau nombre a; il est la racine carrée entière du nombre A’ que l'on obtiendrait en prenant dans P autant de tranches de deux chiffres qu'il

y a de chiffres dans a’, ou en plaçant à droite de A les 24 chiffres de P qui.

suivent A. On à alors à former le reste partiel A'—a"°?; pour cela on profite, au moment où on s’est arrêté dans la division, du reste partiel corres-

pondant de cette division ; on abaisse à la droite de ce reste les 4 premiers

chiffres de P qu'on n’a pas employés (autant qu’on a calculé de chiffres au quotient) et. on retranche d'? du nombre ainsi formé; on forme ainsi A'— a?; on continue de la même façon en faisant jouer à A! et a! le rôle qu'ont joué A et a. Ce procédé est assez rapide. On l’a appliqué ci-dessous à deux exemples.

Pour la racine carrée de 980313476587,on a pris les deux premiers chiffres dans la table des carrés, une seule division a permis d’obtenir les quatre autres.

Pour la racine carrée de 6391723578946702, on a pris dans * table des carrés les deux premiers chiffres de la racine, dont on a calculé ensuite, par la règle précédente, d’abord un chiffre, puis trois, puis deux.

9801 198 1. 0107 498 107 1386 oe 1646587 11449 d

eu CETTE 6392 2 #2 3.2 X 14:32:15 12784 k317 112189% 232324 8895706 1994820 9008867 1994820 1014404702 1014011077

8 3. — Racine carrée approchée.

293. La recherche de la racine carrée d’un nombre A approchée à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ;. près par défaut offre un grand intérêt tant au point de vue théorique qu'au point de vue pratique. Pour l'effectuer (n° 285, p. 315), on multipliera A par 100, 10000, 1000000, .. ; on extraira la racine carrée entière des parties entières de ces nombres, et on les divisera par 10, 100, 1000...

Si on a la représentation décimale de A (n°229, p. 256), il Suffira d'avancer la virgule de deux, quatre, six,.… rangs vers la droite (en F. introduisant des zéros s’il est nécessaire), pour avoir les parties. entières de 100 A, 10000 A, 1000000 A...

Imaginons qu'on ait séparé la partie décimale de A en tranches de deux chiffres à partir de la virgule; désignons ces tranches, en allant de la gauche vers la droite, sous le nom de première, seconde, troisième, … tranche décimale : chacun des nombres que l'on forme en plaçant à droite de la partie entière de À la première, puis la seconde, puis la troisième... tranche décimale contient, au commencement, les mêmes chiffres que le précédent, et le nombre

de dizaines de sa racine est précisément la racine carrée entière du précédent, en sorte que si l’on veut calculer successivement la racine carrée de A à 1; 0,1; 0,01 ; 0,001 ; .. près par défaut, chaque opération servira à la suivante, et, pour cette dernière, on n'aura qu’un chiffre de plus à déterminer, ce quise fera exactement comme on l’a expliqué au n° 288 (p. 319). II semble inutile d’insister sur la disposition des calculs, qui sera suffisamment expliquée par les exemples suivants, où l’on a calculé __ près les racines carrées de 2 et de

dont la valeur approchée à

= +. près, par défaut,

est 0,0001428571. On voit que, pour 2, on s’est contenté d'écrire les | zéros à mesure qu on en avait besoin. Les racines ont été calculées - par la règle du n° 289 (p. 320).

la fraction

96 ka A 4 :

7 300 96 281 11296 36564 11900 11296 60400 565624 383600 282841 100759 0,000142857110,01195 ous 921 299 92385 0492 ML 9 3 Het 91 2061 41995 12471 11995

Quand le nombre A est plus grand que 1, on place, à la racine, la virgule après le dernier chiffre de la racine carrée à une unité

près de la parte entière ; les chiffres qui suivent sont fournis par les tranches décimales successives. Quand le nombre A est plus petit que 1, on écrit d'abord un zéro à la place de la racine, puis une virgule, puis, s’il y a lieu, autant de zéros qu’il y a de tranches décimales composées de zéros ; le premier chiffre significatit, à la racine, est la racine carrée entière de la première tranche décimale qui contient au moins un chiffre significatif.

Il est à peine utile de dire que l’on peut appliquer la méthode abrégée du

n° 292 (p. 325); par exemple, ayant la racine carrée de 2 à . près, nous ; 1 : s

pouvons l'avoir à Ton Près (par défaut ou par excès) au moyen d’une seule division, qui est effectuée ci-dessous :

On est dans le cas où les chiffres ne 140075900000 | 282842 comportent aucun doute, puisque le reste 848526 38623 de la division est supérieur au quotien 1290640

Si l’on voulait avoir le reste, dans l'extrac-

: ; My 46 $ 1414910

tion de la racine carrée, il faudrait former

la quantité 1764300

On trouve 20674401871 : ce serait le reste 672480

dans l'extraction de la racine carrée de 565684

2 x 102%, opération dont le résultat est 1067960

14142135693 ; la racine carrée de 2 à — NS 526 près est 1,4142135623 et en la désignant 219434

par a, le calcul précédent montre que l’on a : .

294. Les racines carrées de 2 à 1; 0,1; 0,01; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; .… près, par défaut, sont donc

les racines carrées de % à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001; 0,0001 ; 0,00001 ; … près, par excès, seront

9: 14,5 51,49: 1,415 ; 1,4143 ; 1,41492 ; ….. On voit manifestement que les nombres que l'on obtient en

extrayant la racine carrée d’un nombre quelconque A à 1; 0,1; 0,01 ; 0,001 ; .… près, par défaut, vont en augmentant, ou plutôt ne

vont jamais en diminuant. Au contraire, les nombres que l'on obtient en extrayant la racine carrée de A à 1 ; 0,1; 0,01 ; 0,001; … près, par excès, vont en diminuant, ou plutôt n’augmentent jamais; le raisonnement est le même qu'au n° 217 (p. 246).

Les deux suites correspondantes

peuvent être poursuivies indéfiniment ; tous les termes de la première suite, qui vont en augmentant à mesure qu’on s avance davantage, sont plus petits qu'un terme quelconque de la seconde suite : tous les termes de la seeonde suite, qui vont en diminuant à mesure qu'on s’avance davantage, sont plus grands que les termes de la première suite; la différence entre deux termes de même rang, qui est successivement 1; 0,1 ; 0,01; 0,001; ..…., va en diminuant, et cette différence diminue indéfiniment qe on s’avance indéfiniment dans les deux suites. |

On touche ici à la définition de la racine carrée exacte de 2; mais je réserve pour un autre chapitre cette définition, qui n'est pas sans difficulté. Je me contenterai de remarquer que la considération de ces deux suites résout le problème suivant : trouver des nombres dont le carré diffère de 2 aussi peu qu’on le veut; d'après les opérations du n° 293 (p. 327), les différences entre 2 et les carrés des nombres 1 ; 1,4: 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421 sont respectivement 1 : 0,04 ; 0,04149 ; 0,000604 ; 0,00003836 ; 0,0000100759 ; elles dimi-. nuent assez rapidement; les racines carrées à 1, à 0,1, à 0,01, près, par excès, donneraient lieu à des observations analogues. Ce | résultat se généralise immédiatement.

295. En effet, les racines carrées de A à « près, par défaut et par excès, sont des nombres na, (n +1) « tels que l’entier RARES | aux inégalités

le nombre A étant compris entre (n2)° et [(n 4-4) af, sa différence avec l’un ou l’autre de ces deux nombres est moindre que

(n + AP a — na En AP —nè 2] aæ = (2n+1) —(2n a+).

Si l’on désigne par P un nombre fixe quelconque, dont le carré … soit supérieur à À, on aura n’a ÆA<P?, et par suite, na<P ; si donc « est plus petit que 1, on aura 2na+ a <2P <+- 1, et la diffé-

rence entre À et le carré de l’une ou de l’autre de ses racines carrées à a près, par défaut ou par excès, sera moindre que (2P + 1)z, quantité qui peut être rendue aussi petite qu’on le veut, en prenant à suffisamment petit. Il existe donc des nombres dont les carrés sont respectivement plus petits et plus grands que A et qui different de À aussi peu qu'on le voudra. On trouvera en particulier de tels nombres en prenant a — et n suffisamment grand. C’est ce que l’on exprime en disant que la différence entre A et le carré de sa racine carrée à « près, par défaut ou par excès, a pour limite zéro quand « diminue indéfiniment. En particulier, si l’on forme la suite indéfinie des racines carrées de A, approchées par défaut à 1, à 0,1, à 0,01,... près, puis la suite des carrés de ces nombres, or pourra dire que les termes de cette dernière suite ont pour limite = quand leur rang augmente indéfiniment (n° 219, p. 248).

296. Quoique la différence entre A et le carré de sa racine carrée par défaut na, à « près, diminue indéfiniment quand « diminue indéfiniment, cette différence ne décroît pas toujours quand « décroit.

se, EN D ce 7 GES ; Ainsi les racines carrées de 2 à — et à — près, par défaut, sont res-

ù 9 LÉTRE DEEE) pectivement F et > OU et ; la seconde est plus petite que

la première, et par conséquent on a