AE
Cette circonstance ne peut se présenter (n° 294, p. 329) quand on prend les racines carrées de A à 1, à 0,1, à 0,01... près, par défaut : les nombres ainsi formés ne vont jamais en diminuant : plus généra-
lement on pourrait démontrer que si l’on a, en désignant par p üun nombre entier, plus grand que 1,
ja
la racine carrée de A à $ près, par défaut, est au moins égale à la racine carrée de A à « près, par défaut.
$ 4. — Racine carrée approchée d’un nombre dont on ne conuaît qu’une valeur approchée.
297. Dans ce qui précède, on a donné un moyen de PRE des nombres dont le carré approche autant qu'on veut d’un nombre À, etl’on a défini la racine carrée de A à « près, par défaut ou par excès. 1! est tout naturel d'étendre un peu cette notion: cette extension, il est vrai, se présenterait d'elle-même si l'on avait défini la racine carrée exacte d’un nombre A dans tous les cas.
Les indications suivantes, qui suffisent pour les calculs pratiques, sont légitimes sans cette définition.
On dit qu’un nombre a est une valeur approchée de la racine carrée de À, par défaut, avec une erreur moïndre que «, Silon a
les mots « valeur approchée de la racine » signifient seulement ici solution du problème qui consiste à trouver des nombres dont le carré approche de A.
On dit de même qu’un nombre b est une valeur approchée de la racine carrée de À, par excès, avec une erreur moindre que a, Si l’on a
Si l'on a a? << A < b?, on pourra donc dire que a el à sont des valeurs approchées de la racine carrée de À, avec une erreur moindre que b— a. 3 Si a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une erreur moindre que «, tout nombre a — f, plus petit que a, sera une valeur approchée par défaut de cette racine, avec une
erreur moindre que a + B, puisque l’on aura (a— BP <A<[(a— $) + (a - B);
tout nombre a + y plus grand que a sera une valeur approchée par défaut, avec une erreur moindre que « — y, si son carré est inférieur à À, ou une valeur approchée par excès, avec une erreur moindre que y, si son carré est supérieur à A; car on a, dans le premier cas,
a <(a+yP<A<(a +),
et, dans le second, <A<(a +7).
Dans tous les cas, a+ y est une valeur approchée de la racine de À avec une erreur moindre que le plus grand des nombres «, y. Des remarques analogues s’appliquent aux valeurs approchées par excès.
298. Si a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une erreur moindre que «, on a
A — a? < dau + ax? ;
ainsi le carré de a diffère de À d’une quantité moindre que « (24 + «). Cette quantité est une limite de l'approximation avec laquelle on a résolu le problème «trouver des nombres dont le carré approche de À ». On a souvent besoin d'évaluer grossièrement cette limite ; pour cela, on remplace 24+4 par un nombre simple qui lui soit notoirement supérieur, parexemple, par le nombre obtenu en forçant le premier chiffre significatif de 2a + «. Si « est petit par rapport à a, on n’aura pas, habituellement, à tenir compte de « pour trouver ce: premier chifire.
Ainsi, on sait que 1,414 est une valeur approchée, par défaut, de la
Î racine carrée de 2, avec une erreur moindre que T0 ? la différence
/ / gs na 9 — (1,414 est moindre que TE * 5.
De même, si b est une valeur approchée de laracine carrée de A, par excès, avec une erreur moindre que «, On aura
D2 — A <a — à° << Ib ;
d'où une règle analogue.
299. Inversement, supposons que le carré d’un nombre «a soit inférieur à A et en diffère d’une quantité moindre que &; 1l est aisé de trouver une limite de l'erreur avec laquelle a approche de la racine carrée de A. On a en effet
SIN e?
(a+) arte >A, puisque, par hypothèse, a? +: est déjà plus grand que A; donc a est une valeur approchée, par défaut, de la racine carrée de A avec
€ ; une erreur moindre que 5 : Des observations analogues s’applique-
raient aux valeurs approchées par excès. Ce qui précède montre comment les nombres dont les carrés approchent beaucoup de A sont très voisins les uns des autres.
