Supposons enfin que le nombre À ne soit pas exactement
connu et que l’on en ait seulement une valeur approchée A!, par P
défaut, avec une erreur moindre ques: A est compris entre A! et
AE
Imaginons qu’on ait calculé une valeur approchée a de la racine carrée de A’, par défaut, avec une erreur moindre que «, a sera une valeur approchée par défaut de la racine carrée de À avec une
À € erreur moindre que a + 5, °naen effet
(a+e+) =w++ati+ et le second membre est plus grand que A! + e, puisque (& + x)? est plus grand que A et que uns £ est plus grand que &; ce second membre est donc, a fortiori, plus grand que A. Comme A est compris entre a? et (a+ +) on peut affirmer que a est une valeur approchée par défaut de la racine carrée de A avec une erreur moindre que « + + si l’on n’a besoin que d’une évaluation grossière de cette erreur, on pourra remplacer dans l'expression a + on a par tel nombre plus petit que a que l'on voudra, par
exemple par son premier chiffre significatif, en lui conservant sa valeur relative. |
Cette formule permet de résoudre la question suivante :
301. Supposons que le nombre A ne soit pas donné directement, mais doive résulter de calculs qui PETACHEn de l'obtenir avec telle approximation que l’on veut : jusqu'où devra-t-on pousser l’approxi-
mation pour obtenir une valeur approchée de sa racine carrée avec
une erreur moindre qu'un nombre donné n?
Supposons qu'on ait calculé une valeur A’ approchée par défaut
de À, avec une erreur moindre que &, puis une valeur approchée 4, par défaut, de la racine carrée de A’ avec une erreur moindre que a :
a pourra être regardé comme une valeur approchée par défaut de
la racine carrée de À, avec une erreur moindre que n, si l’on a œ Re ° dat
On commencera par calculer grossièrement un nombre qui soit
certainement moindre que & (il suffira, par exemple, de connaitre le premier chiffre de a), et l'on remplacera dans l'inégalité précédente a par ce nombre, puis on déterminera « ete de manière à vérifier l'inégalité. Il est clair qu’il suffira de prendre e <2an; on détermi-
: : cu € nera ensuite « par la condition a<n— 7%, ce qui est toujours
possible puisque l’on peut prendre « aussi petit qu'on le veut.
Une discussion assez facile permettrait de déduire de là le résultat suivant, qui peut être utile dans la pratique : quand on connaît un - nombre avec n chiffres exacts, on peut calculer sa racine avec n—1 chiffres exacts, sauf une erreur possible de 2 unités du derniei
ordre.
$ 5. — Cubes; racine cubique. Puissance mi; racine nine,
302. Les détails dans lesquels je suis entré pour les carrés, la racine carrée, me permettront d’aller plus vite pour ce qui concerne les cubes, la racine cubique, les mièmes puissances, la recherche de la racine mième d’un nombre.
La puissance mième d’un nombre est le produit de ” facteurs égaux à ce nombre. La puissance mième d’une fraction est une fraction dont les termes sont les mièmes puissances des termes de la fraction proposée : si cette derniére est irréductible, il en est de même de sa mième puissance, formée par la règle précédente. Celle-ci, en particulier, ne peut être un nombre entier.
Si l’on a A > B, on a A">>B"; en effet, A” est le produit de m facteurs respectivement plus grands que les m facteurs dont se compose B" ; réciproquement, si l’on a A" > B", on a certainement A > B.
La racine mième (exacte) d’un nombre À est un nombre dont la mième puissance est égale à A. Si ce nombre existe, il est unique. Si À est entier et s’il n’est pas la puissance mièce d’un nombre entier, il n’est pas non plus la puissance mième d'une fraction ; il n’admet pas de racine mième exacte. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction irréductible admette
une racine mième exacte est que ses termes soient les puissances mièmes de
nombres entiers.
La puissance mième d’un nombre terminé par p zéros s'obtient en faisant
suivre de mp zéros la puissance mime de ce nombre, abstraction faite de ses
Zéros.
303. On a vu l'importance, dans la théorie des carrés et de la racine
carrée, de la formule (1) (a+ b} = a? +2 ab + b?;
en multipliant le premier membre de cette formule par (ab), et en ajou-
0e PS Re FE OS LS REZ EE if FEV FPT
tant les produits obtenus en multipliant par & et par b chaque terme du second membre, on trouve la formule
(2) (a + b}° = aÿ + 3ab + 3ab? + bÿ; on trouverait de même (3) (a + dt = at + kaÿb + Ga?b? E 4ab5 + bt ;
ces formules jouent, pour les cubes et les quatrièmes puissances, le même rôle que la formule (1) pour les carrés ; il y aurait lieu d'établir maintenant la formule, dite formule du binome, qui généralise, pour (a + b)", les formules (1), (2), (3). Je laisserai toutefois de côté cette formule générale (f) et me contenterai pour le moment de tirer quelques conséquences de la formule “
(a +1 — a —3a +3ati
que l’on déduit de la formule (2) en y faisant b— 1. 5 Cette dernière égalité permet de construire aisément une table de cubes des.nombres entiers, de 4 à 99 par exemple : en effet, la table II permet, au moyen de calculs très simples, de former les valeurs de 3 a? + 3 a + 1 quand on y remplace successivement a par 1, 2, 3, 4, …. . On a inscrit dans la ligne suivante les valeurs de 3a°+3a+1 Cote te neuf premiers nom-
bres :
Lan AO 7 O1. OM EN OR 217 LL a Aie 3 4 5 6 “ 8 9;
au-dessous on a écrit les neuf premiers nombres en les avançant d’un rang, de façon que chacune des valeurs de 3a?+3a + 1 corresponde, non au terme de la suite naturelle qui est écrit au-dessous de lui, mais au terme qui le précède immédiatement.
Le cube de 1 est 1 ; le cube du nombre suivant 2 s’obtiendra en ajoutant à 4 la valeur de 3a? + 3a 1 pour a — 1, c’est-à-dire 7; le cube de 2 est 8. Le cube du nombre suivant 3 s'obtient en ajoutant à 8 la vâleur de 3a? + 3 a +1 pour a — 2, c’est-à-dire 19 ; le cube de 3 est 27 ; le cube de 4 s’obtient en ajoutant 37 à 27; c'est 64, ett.. On pourra ainsi former successivement une table des cubes allant de 1 à n, n étant un entier quelconque.
304. Ce procédé nous fournit en passant une expression remarquable de la somme des carrés des n premiers nombres naturels. Il met en effet en évidence la proposition suivante : Le cube de n + 1 peut s’obtenirenajoutant à 1 successivement les valeurs que prend l'expression 3 a? + 3 a 1 quand on remplace a par 1, 2, 3, ..…., n : or cette somme est manifestement égale à 3S+3S,+n, en désignant par S, la somme des n premiers nombres et
