Elle se déduit sans peine de l'exercice 106, p

par S, la somme de leurs carrés; en se rappelant (n° 53, p. 52) que S est égal NL (n +1

3 »0nen conclut successivement

36, +300 Loi mp,

6S; + 3n(n + 1)+2(n+1)=2(n+1}, GS; —2(n +1) —3n(n +1) —2(n +1) = (n +1)[2 (n +1}? —3n — 2] = (n +1) (2n? + n), n(n +1) (2n+1) Di PT AP ment

Par exemple, la somme des carrés des 99 premiers nombres est égale à

| TG —— = 33 x 50 x 199 — 328350,

ce qui donnerait un moyen de vérifier la table IT.

Le lecteur pourra étendre ce procédé : il verra comment de la table des cubes on pourrait passer à la table des quatrièmes puissances, et comment la construction de cette table permettrait de trouver une expression simple

de la somme des cubes des n premiers nombres (1), à savoir Es] .

Quoi qu’il en soit, la table ILI, que l’on trouvera à la fin du volume, donne les cubes des 99 premiers nombres ; elle met en évidence la façon très rapide dont croissent ces cubes.

305. La racine mième d’un nombre quelconque À, à une unité près par défaut, est le plus grand nombre entier dont la puissance mième soit égale ou inférieure à A. On lui donne aussi le nom de racine mième entière. La racine mième d’un nombre A, à une unité près par excès, est le plus petit nombre entier dont la puissance mième soit supérieure à A.

Il suffit, pour obtenir la racine mième entière de À, d'extraire la racine mième entière de la partie entière de A. La démonstration est la même qu'au n° 284 (p. 314).

La racine mième d’un nombre quelconque À à « près, par défaut est le plus grand multiple de « dont la mième puissance soit inférieure ou égale à À :

Si l’on désigne par n« cette racine, elle est déterminée par les inégalités

(na) ZA << [(n + 1) aq

1. L'égalité de l'exercice 35 (p. 105) fournit un autre moyen, un peu plus rapide, de parvenir à ces résultats ; en Y Supposant, par exemple, p — 3 et en ÿ remplaçant n par n — 1, elle donne n(n+i)(n+2 = 3 [12 +28 L +nin+l)];

or la quantité entre crochets, dans le second membre, n’est autre chose que

LÊ+2L... Ln

+1+2+4... Lan, c'est-à-dire S, + S,, d'où un moyen pour calculer S,; de même, en Supposant » = 4, on obticndrait la somme des cubes des n premiers nombres.

ou a £ À <(n +1"

qui montrent que n est la racine mième entière de T ou, si l’on veut, de

LA .. À LA £ la partie entière de HD La recherche de la racine mième d’un nombre avec

une approximation donnée est donc ramenée à la recherche de la racine mième d’un nombre entier, à une unité près par défaut.

On établira encore comme au n° 286 (p. 316) les propositions qui suivent.

Soit A un nombre quelconque et a sa racine mime entière; si a est un nombre naturel, le quotient entier de la division de a par « est égal à la racine mième entière de = ou, si l’on veut, de la partie entière de 2

En particulier, lorsque A est entier, le nombre de dizaines de sa racine miève entière est la racine mièe entière du nombre obtenu en supprimant les m derniers chiffres de A.

On pourrait conclure de là que, si le nombre entier À n'a pas plus de m chiffres, sa racine mième entière ne peut avoir plus d’un chiffre ; mais cela est clair directement puisque alors, À est moindre que 10. Lorsque A'a plus de m chiffres, sa racine se compose de dizaines et d'unités.

306. J’aurai besoin de quelques inégalités qui résultent tout de suite de cette formule du binome à laquelle j'ai fait allusion plus haut : le lecteur, pourm — 3 ou 4, les déduira immédiatement des formules du n° 302 (p. 335) ; je les établirai en partant de la formule du n° 52 (p. 50).

QU) am Gm— (af) (am—tpam-2f+am-3@ tpm t); j'y suppose a > $. A L'expression

am— 1 Lan—26Lom—sgi +... + fm—i,

qui figure comme facteur dans le second membre, est la somme de m»m produits dont chacun contient m facteurs égaux soit à «, soit à 8. [l est clair qu’on diminue la somme en remplaçant dans chaque terme tous/les facteurs par 8, ce qui donne mp”, qu’on l’augmente en remplaçant tous les facteurs par a, ce qui donne ma”; on en conclut |

(2) Be = 1 (a — 8) L'art — fe Coma 1 (a — À).

C’eët là les inégalités que j'avais en vue : elles vont nous permettre ds résoudre le problème suivant. 0e

307. Soit P un nombre entier donné et p sa racine mième entière cherchée : je supposerai que P ait plus de m chiffres. Désignons par A et B le quotient et le reste dans la division de P par 10” et de même par a et b le quotient ‘et le reste dans la division de p par 10; on aura ;

P—I0OMAZLB, m—10a+b, B<10%. b<10;

le nombre a est la racine mième entière de À, il n’est pas nul, non plus que A; je suppose qu’on soit parvenu à calculer a (le nombre des dizaines de la racine), je vais montrer comment, au moyen de quelques essais, on peut calculer b (le chiffre des unités). Je poserai, pour abréger,

R=P — (10a)" — 107 (A — gm) + B.

La définition de la racine mième entière fournit les inégalités (0a + db) LP <L(10a + b + 1}m, d'où, en retranchant (10a)" des trois membres, (1) (10 a + 6} — (10 a)" 2 R < (40 a + b + 1} — (104) ; or, si on se repose aux inégalités établies dans le précédent numéro, on voit: que la première, en y supposant

æ — 10a + b, = 10a donne

(2) m (104) —1b <€m (10 a + b}m — (AO a)" tandis que la seconde, en y faisant

æ—10a+0+i, $—10a donne (3) (0a + 6 + 1)" — (104) < (10 a + D +1) —1 (6 + 4) : mais, puisque b + 1 est au plus égal à 10, on a

A0a + b +1 Z10a + 10 ou 10 (a + 1) :

en Sorle que l'inégalité (3) ne peut étre qu’accentuée si, dans le second

membre, on remplace 10 a + b + 1 par 10 (a + 1); cette inégalité (3) ainsi modifiée et les inégalités (1) et (2) entrainent les suivantes

m (10 a) ®—1b<R<mMmI10(a+1)]m—-1h; On en conclut que le chiffre & est inférieur ou égal à la partie entière de. R R

m (10 a)"—1 T Man TX 10m 1

supérieur ou égal à la partie entière de

TO Ca DT ma 1x 1m

si donc on supprime m— 1 chiffres à la droite de R, puis qu’on divise le résultat par ma”—1 et m (a+ 1}"—1, les quotients entiers fourniront deux limites pour b; le premier sera une limite supérieure, le sécond une limite inférieure (‘); le chiffre b sera l’une de ces deux limites où un nombre

1. La limite inférieure pourrait être améliorée, comme on le prévoit en se reportant à la théorèe de la racine carrée (m — 2); on obtient alors cette limite en supprimant un chiffre à la droitæ

intermédiaire. Au moyen de quelques tâtonnements, on pourra donc ayoir le chiffre b.

308. La règle pour extraire la racine miè"e entière d’un nombre entier P est maintenant bien claire.

On doit d’abord former une table des puissances mièmes des nombres 1, 2,3 DS 0 NO 10e

On partage P en tranches de m chiffres, à partir de la droite ; en parlant désormais de ces tranches, je les suppose rangées de gauche à droite. La première tranche peut avoir m” chiffres ou moins. On calculera successivement les racines mièmes entières des nombres formés par la première tranche, par l’ensemble des deux premières tranches, par l’ensemble des trois premières tranches, ... La racine mième entière du nombre formé par la première tranche se trouve dans la table des puissances mièmes des neuf premiers nombres naturels : c’est le nombre de dizaines de la racine mième entière du nombre formé par l’ensemble des deux premières tranches; pour avoir le chiffre des unités, on n’a qu’à appliquer la méthode du numéro précédent ; on obtient ainsi la racine mie entière du nombre formé par l’ensemble des deux premières tranches, ou le nombre des dizaines de la racine miène entière du nombre formé par l’ensemble des trois premières tranches ; on déterminera le chiffre des unités en appliquant encore la méthode du numéro précédent et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on ait épuisé toutes les tranches dont chacune fournit un chiffre de la racine.

309. Pour extraire la racine mième, à or Près par défaut, d’un nombre A

écrit sous forme décimale, on avance la virgule de pm rangs, en suppléant par des zéros aux chiffres qui pourraient manquer, on extrait la racine mième entière du nombre à gauche de la virgule et l’on sépare p chiffres décimaux à gauche de cette racine. Gette opération donnerait lieu à des observations analogues à celles que l’on a faites en détail, pour la racine icarrée; je n’y reviendrai pas.

310. Je veux toutefois établir que, si l’on se donne un nombre quelconque À, on peut trouver un nombre dont la puissance mième et A diffèrent aussi peu qu’on le veut.

Soit, en effet, en désignant par À un nombre entier, ka la racine mième de À, approchée à a près, par défaut, on sait la calculer quand on se

donne «a ; on a alors (kaÿr ZA < [(E +1) a},

la différence entre À et l’une et l’autre des racines mièmes approchées 40 près, par défaut ou par excès, est inférieure à

(1) D = [k +14) a} — (a) = a [(k + 1) — AT,

de R, puis en divisant par 24 + 1 et non par 2a + 2, comme l'indiquerait la règle actuelle. Le lecteur pourra établir que dans le cas de la racine cubique (m = 3), on obtient une limite inférieure en supprimant deux chiffres à la droite de R et en divisant ensuite par 3a° + 3a + 1, nombre qui est plus petit que 3 (a + 1) et qui fouruit donc une meilleure limite.

et il suffit de prouver que cette quantité peut être supposée plus petite que tel nombre e que l’on voudra.

Or, en vertu de la première des inégalités du n° 306 (p. 338), on a, en supposant a — k + 1, 8—k,

(A + 1) — Em Cm (k + 1)m— 1; la différence D est donc moindre que mot (k+ 1) 1 = ma (ka + a) —1;

soit maintenant B un nombre fixe quelconque dont la puissance miène dépasse À ; on aura certainement ka < B et, par suite, ka L a<B “a 4, si l'on suppose « << 1; on en déduit

D < ma (B + D Li hs si donc on veut que D soit moindre que s, il suffira de prendre

in m(B +1} —1

Par exemple, si on veut avoir des nombres dont la puissance 5ième diffère

de 2 de moins que —, on pourra prendre B — : et déterminer x par l’iné-

9\ # 1 s x () LT à

on satisfera à cette inégalité en prenant « — : x a

On voit ainsi, d’une part, qu'il existe des nombres dont les puissances mièmes sont inférieures ou supérieures à À et qui en diffèrent d'aussi peu qu'on le veut; d'autre part, que si l’on forme la suite des racines mièmes de A approchées à 1, à 0,1, à 0,01, … près, par défaut, et que l’on imagine que cette suite soit prolongée indéfiniment, puis que l’on forme la suite ana logue pour les racines mièmes approchées par excès, avec les mêmes degrés d’approximation, les termes de la première suite iront en croissant à mesure qu'on s’avance, les termes de la seconde suite en décroissant ; chaque terme de la première suite est moindre qu'un terme quelconque de la seconde : enfin si on forme les puissances mièmes des termes d’une suite ou de l’autre, les termes de la nouvelle suite ainsi formée auront pour limite A quand on s’avance indéfiniment.

galité