MESURES DE LONGUEUR

serait un peu plus grande que le mètre légal, d'environ deux dixmillièmes de mètre.

315. Je viens de dire que la longueur du mètre légal n'avait pasété changée : toutefois, ce n’est plus l’étalon déposé en 1799 aux Archives nationales qui est aujourd'hui le mètre légal, mais bien un autre étalon que l’on a d’ailleurs cherché à construire aussi égal que possible à l’ancien mètre légal.

En 1872 (1), une Commission internationale se réunit à Paris, sur l'invitation du Gouvernement français, en vue de l’établissement de prototypes internationaux. Trente États y étaient représentés. Ur Bureau international des Poids et Mesures fut créé par une conven: ton diplomatique en 1875 (convention du mètre) et installé au Pavillon de Breteuil, à Sèvres (S.-et-0.). Il avait pour mission de construire et de conserver les étalons définitifs et de les comparer aux étalons fournis aux différents Etats.

L’étalon définitif du mètre, construit en platine iridié, a été sanctionné par la Conférence générale des Poids et Mesures, tenue à Paris en 1889; il est déposé dans les caveaux du Pavillon de Breteuil.

Le mètre est, par définition, la longueur comprise (à la température de zéro) entre les deux traits marqués sur cet étalon. Des copies de ce mètre ont été remises aux différents États. La copie n° 8 déposée au Conservatoire des Arts et Métiers est, d’après la loi du 2 avril 1919, le mètre légal pour la France. Le décret du 26 juillet 1919 a d’ailleurs modifié, sur quelques points, le tableau des diverses mesures légales.

316. Les multiples ou sous-multiples du mètre qui peuvent servir d'unités secondaires ont été définis plus haut ;° j'en reproduis le tableau en mettant en face de chaque multiple ou sous-multiple le signe abréviatif qui sert à le désigner et le nombre qui le mesurerait quand on prend le mètre pour unité. k

Mégamètre . . . . . . Mm. 1000000 Hectokilomètre . . . . hkm. 100000 MAPIAMELrE CAE AN RL," "Ma. 10 000 Kilomètre® +. , km. 1 000 Héctometren ess 40 Ne 100 Décarmetrems enr). «x dam. 10 RAT PEN NT E) HANSNE NEC 14 à 4!

Décimètre . . . . . . dm. 0,1 Centimeétresmmmas tu) cm: 0,01

4. Voir l'Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1908, p. 496.

Mulimètre. 0.5.7 mm "000€ Décimillimètre. . . . dmm. 0,0001 Centimillimètre . . . cmm. 0,00001 Miche EAU EE 0,000 001 Millfimicron 5, « my 0,000 000 001

317. Les mesurese/ffectives, c ést a dite les instruments en bois ou en métal qui servent effectivement à mesurer, sont fixées par la Loi; celles qu'emploient les commerçants doivent porter la marque de la rérificalion des poids el mesures.

Voici les noms de ces mesures effectives; ces noms s'expliquent

d'eux-mêmes; on a encore placé, en face de chacun des noms, le nombre qui mesurerait la grandeur correspondante, en prenant le mètre pour unité :

Décimetre "0" et Double décimètre : 109 Demismetrec nes Rs Metre sites ion A ÉRe ete Double mètre. "270% 02 Demi-décamètre. . . . . 3 Détamètre 2.7) NO Double décamètre. . . . 90

Les cinq premières mesures effectives sont habituellement des règles rigides en bois ou en métal, portant des subdivisions en centimètres et quelquefois en millimètres. On se sert aussi de mètres articulés. Le décamètre effectif, qui sert à mesurer les distances sur le’terrain, est une chaîne, dite chaîne d’arpenteur, composée de 50 chaînons, dont chacun vaut 2 décimètres. Ces chainons sont réunis par des anneaux de fer; de cinq en cinq, pour marquer le mètre, l'anneau de fer est remplacé par un anneau de cuivre. Le milieu de la chaîne est marqué par une prie tige de cuivre.

On donne à la chaîne quelques millimètres de plus qu’elle ne devrait avoir, pour compenser le défaut de tension.

Les kilomètres sont marqués par des bornes, sur la plupart des routes ; de même aussi, très souvent, les hectomètres, de ht en deux.

918. Il me reste quelques mots à dire sur la façon d'écrire ou d’énoncer les nombres décimaux qui représentent une longueur.

L’habitude la plus répandue en France lorsqu'un nombre représente une grandeur, mesurée avec une certaine unité, est de placer le

signe abréviatif qui désigne cette unité (de grandeur) en haut et à

droite du chiffre des unités (simples) du nombre écrit. On écrira par exemple 3,25, pour exprimer qu'une longueur est mesurée par le nombre 3,25 quand on prend le mètre pour unité. Cette façon d'écrire, qui correspond d’ailleurs à notre façon de parler, est souvent très incommode ; il est bien préférable de placer, comme on le fait ordinairement à l'étranger, le signe abréviatif avant le nombre écrit.

Pour écrire le résultat d'une mesure exprimée au moyen des unités secondaires et principales, en myriamètres, kilomètres, ..., mèlres, décimètres, …, il suffira d'écrire les uns à la suite des autres les chiffres qui expriment combien de fois chacune des unités figure à son tour dans la grandeur considérée, en commençant par les plus grandes unités et en ayant soin de mettre des zéros à la place de celles qui manqueraient; on met, s'il y a lieu, la virgule à la place convenable, selon l'unité que l’on a choisie. Une longueur contenant 7 hectomètres, 3 mètres, 2 centimètres serait mesurée par le nombre 7032,02, ou mieux m. 703,02, en prenant pour unité le mètre.

On suit la règle inverse pour énoncer un nombre écrit; mais le plus souvent on se contente d'énoncer ce nombre en deux fois : d'abord la partie entière, en faisant suivre du nom de l'unité, puis la partie décimale, énoncée comme un nombre enter, en faisant suivre du nom de l'unité secondaire qui correspond au dernier chiffre décimal : ainsi, dans l’exemple précédent, on dira sept cent trois mètres, deux centimètres. |

Les nombres 180,95 et 75,072, en supposant qu'on prenne dans le premier cas le mètre pour unité, dans le second cas l'hectomètre, s’énonceront cent quatre-vingts mètres, vingt-cinq centimètres et soixante-quinze hectomètres, soixante-douze décimètres.

Au surplus, ces habitudes ne sont pas invariables et rien n’empêche de regarder les nombres qui expriment les mesures comme des nombres abstraits, pourvu qu’on sache toujours à quelle unité ils correspondent.

$ 3. — Surfaces, volumes,

349. Surfaces. — La définition précise du nombre qui mesure une surface donnée, quand on a choisi l’unité de surface, n'est pas sans difficultés, même quand cette surface est plane. Cette définition et les moyens de trouver ce nombre sont du ressort de la Géométrie : je ne peux en donner ici qu’une idée très incomplète.

Je ferai d'abord les observations suivantes :

Si on se donne une longueur quelconque AB, on peut construire un carré ABCD dont le côté soit égal à AB; et si l’on considère un plan, on peut imaginer qu'il soit décomposé en carrés égaux à ABCD ; le carrelage d'un plancher, un morceau de papier quadrillé, fournissent des exemples familiers au lecteur de la figure ainsi formée. Si l’on considère une portion du plan qui soit ainsi entièrement remplie par des carrés égaux à ABCD, et qui contienne un nombre entier x de ces carrés, on dira que cette surface est égale à » fois le carré ABCD, que son rapport au carré ABCD est », ou enfin qu’elle est mesurée par le nombre entier n quand on prend ce carré pour unité de surface.

Tel sera le cas d’un rectangle PQRS (fig. 17) dont les deux côtés PQ, PS contiendraient chacun la longueur AB un nombre exact: de fois; supposons que le côté PQ contienne, par exemple, 3 fois cette longueur, et que le côté PS la contienne 5 fois; il est clair, sur la figure, que le rectangle PQRS contient 3 fois 5 carrés égaux à ABCD : si on prenait le carré ABCD pour unité de surface, le rectangle PQRS serait mesuré par le nombre 5 >< 3 ou 15. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si l’on choisit une certaine unité de longueur et si l'on prend pour unité de surface, le carré construit sur l’unilé de longueur, la surface d'un rectangle dont la base et la hauteur sont mesurées par des nombres entiers est mesurée par le produit de ces nombres. En particulier, un carré dont le côté contiendrait exactement n fois l'unité de longueur, sera mesuré par le nombre n >< n = n°, ou, comme l’on dit, par le carré du nombre qui mesure son côté.

320. Considérons, par exemple, le mètre carré, c’est-à-dire la superficie contenue dans un carré de 1 mètre de côté; si l’on prenait le décimètre pour unité de longueur, le côté du mètre carré

je re ji

serait mesuré par le nombre 10, et par conséquent, si l'on prenait pour unité de surface le carré dont le côté est égal à un décimètre, carré auquel on donne le nom de décimètre carré, la surface du

mètre carré serait mesurée par le nombre 10 >< 10 ou 100; c'est à-

dire que le mètre carré contient 100 décimètres carrés, ou, si l’on

- veut, que le décimètre carré est la centième partie du mètre carré.

On désigne sous les noms de myriamètre carré, kilomètre carré,

hectomètre carré, décamètre carré, mètre carré, décimètre carré,

centimètre carré, millimètre carré, la superficie contenue dans des

carrés dont les côtés sont respectivement un myriamètre, un kilomètre, un hectomètre; un décamètre, un mètre, un décinistee un centimètre, un millimètre. |

En vertu des raisonnements précédents, chacune de ces surfaces contient exactement cent fois celle qui la suit, ou est la centième parte de celle qui la précède; ces surfaces, si l’on prend le mètre carré pour unité, sont donc mesurées respectivement par les nombres 100000 000; 4 000000; 10000; 100; 1; 0,01 ; 0,0001 : 0,000 001.

Nous pouvons maintenant généraliser le théorème du n° 319 et établir la proposition suivante :

321. Mesures de surfaces. — Si l’on prend pour unité de surface le carré construit sur l'unité de longueur, la surface d’un rectangle quelconque, dont les côtés sont commensurables à cette unité, a pour mesure le produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur.

Supposons que les nombres qui mesurent la base et la hauteur du rectangle considéré soient deux fractions de même dénomina-

Ar) TC t— par exemple.

À k Soit AB l'unité de longueur (fig. 18); divi- Hp sons-la en 7 parties égales ; soit A'B' l’une Fig. 18. de ces parties. Si l’on prenait pour unité

de longueur A'B’ et pour unité de surface le carré construit sur A'B' comme côté, les côtés du rectangle

‘considéré seraient mesurés par les nombres 3, 5, et sa surface

par le nombre 3 ><5; alors le carré construit sur AB comme côté serail mesuré par le nombre 7 >< 7; en d’autres termes, le rectangle considéré et le carré construit sur AB contiennent l’un 3 >< 3 fois, l’autre 7 >< fois le carré construit sur A'B! comme côté : ce dernier carré est donc une commune mesure au rectangle et au carré construit sur AB : le rapport de ces deux surfaces, ou le nom-

est 28.19 bi ; LÉ Do : Aie

c'est ce qu'il fallait démontrer.

bre qui mesure la première quand on prend la seconde pour unité, à

En parüculier, si l'on prend pour unité de surface le carré COnS=. | truit sur l'unité de longueur, la surface d'un carré JUER ORNE esb A

mesurée par le carré du nombre qui mesure son côle.

Par exemple, si l’on prend pour unité de longueur le mètre, ee Ë unité de surface le mètre carré, les surfaces ia carrés dont les … côtés sont respectivement un décimètre, un centimètre, un milli- ‘1

mètre, seront mesurées par les nombres (0,1ÿ—= 0,01 ; (0,01}— 0,0001 ; (0,001)? —0,000001,

ee qui est bien conforme aux résultats précédemment obtenus.

322. Supposons maintenant qu’on ait à mesurer une surlace plane quelconque ; imaginons que le plan qui content cette surface soit : recouvert d’un quadrillage formé de carrés égaux, dont les côtés soient une fraction connue de l'unité de longueur, la mime partie par a

exemple : si on prend toujours pour unité de surface le carré cons-

truit sur l'unité de longueur, ce carré contiendra n°? carrés du qua drillage. On pourra compter ceux des pelits carrés qui sont à l'in-

térieur de la surface S : supposons qu'il y en ait p, et qu'il y en ait q. F2

qui soient traversés par le contour de S; la surface S formée par ÿ

les p petits carrés diffère très peu de la surfaces, lorsque n esttrès … j

orand ; si l'on prenait pour unité de surface l’un dés pelils carrés, la surface S! serait mesurée par le nombre entier p, et la surfaces SO être regardée comme mesurée approximativement, avec la même unité, par le même nombre ; avec la véritable unité de surface, la, surface $S est donc mesurée approximativement par le nombre …

È elle est en réalité comprise entre deux surfaces S’, S/ formées

chacune d’un nombre exact de petits carrés, la première de » petits carrés, tous intérieurs à la surface donnée, la seconde dep +gq:

carrés, parmi lesquels il y en a g qui débordent au delà de la sur-

face S et forment une bande étroite aux environs du contour de cette …

surface. La surface S doit être regardée comme mesurée par un ” 104

nombre compris entre Le et PTT ie On démontre, sous des condi- de

tions que je ne puis expliquer ici, Œue, pourvu que n soil assez grand,

La

ces deux nombres diffèrent aussi peu qu'on veut, en sorte que l’un pu l’autre peut être pris comme une mesure approchée, l’une par tiéfaut, l’autre par excès, du nombre cherché, qui n’est ici défini que: d'une manière {rès imparfaite. On arrive, en Géométrie, à donner à: ce nombre un sens précis et, dans une suite de cas simples, à éta- blir des règles qui permettent de le calculer, enne mesurant que des: longueurs rectilignes.

323. Dans le système métrique, l'unité principale de surface est

. le mètre carré : les unités secondaires sont d’une part le décamètre

carré, l'hectomètre carré, le kilomètre carré, le myriamètre carré, d'autre part le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré : toutes ces surfaces ont été définies au n° 320 (p. 353), où l'on a étudié aussi leur ordre de grandeurs relatives. Ici les multiples successifs ne sont pas de dix en dix fois, mais bien de cent en cént fois, plus grands ; de même les sous-mulliples ne sont pas de

… dix en dix fois, mais bien de cent en cent fois, plus petits.

Le mètre carré se représente par m2; on peut employer aussi les

se . ÉD OT 2 end Turenne pVee . s … notations Ma. , km. , ..., cm. , mm. , pour désigner le myriamètre

carré, le kilomètre carré, .…., le centimètre carré, le millimètre carré : les égalités telles que

Ma — Em. 100, km. —hm. 100, .…, cm — mm 400 D de km, mm 1 100 ? 100 17 T0 ?

dans lesquelles la facon d'écrire est la même u’on a expliquée au + ; $

n° 918 à propos des longueurs, expriment les relations de grandeur entre les diverses unités de surface.

Supposons, par exemple, qu'une surface S, en prenant le mètre

carré pour unité, soit mesurée par le nombre 48567,238 ; ce nombre

peut s'écrire

On parvient à celte forme en décomposant le nombre proposé en tranches de deux chiffres à partir de la virgule tant vers la gauche

. que vers la droite ; il n’y a pas d’inconvénient à ce que, comme ici,

ia tranche la plus à gauche ne comporte qu’un chiffre ; mais il faut

« avoir soin de s’arranger pour que le nombre de chiffres décimaux . Soit pair ; pour cela, on ajoute au besoin un zéro.

Le nombre ainsi décomposé, partons par exemple de la tranche 67

qui précède la virgule : elle représente des mètres carrés. Remon-

tons vers la gauche : puisque 100 mètres carrés est la même chose ,

qu'un décamètre carré, 85 fois 100 mètres carrés est la même chose 4

que 85 décamètres carrés ; 1002.4 mètres carrés est la même chose, Que 100.4 décamètres carrés ou que 4 hectomètres carrés. De même,

e 23 A Q C4 , : A mn 73 NS en descendant à droite : —= de mètre carré C estla même chose

PLINEe » r F 1 x [4 ns ; que 23 décimètres carrés, puisque AT mètre carré est la même

chose qu’un décimètre carré, elc.

On peut dire dès lors que la surface considérée est égale à

him 24 + dam. 85 + m.'67+ dm. 23 + cm. 80,

ou à 4 hectomètres carrés, 85 décamètres carrés, 67 mètres carrés,

93 décimètres carrés, 80 centimètres carrés. Elle contient 4 hecto-

mètres carrés et non ÿ ; puis, quand on en a retiré ces 4 hectomètres

carrés, elle contient 83 décamètres carrés et non 86; puis, après avoir encore retiré ces 85 décamètres carrés, elle content 67 mètres

carrés et non 68, etc.

Les explications qui précèdent justifient la règle qui suit, pour le

changement d'unités.

324. Lorsqu'on a écrit, dans le système décimal, la mesure d'une … surface en prenant pour unité de surface le mètre carré, si on veut.

écrire le nombre qui mesure la même surface en prenant pour unité

le décamètre carré, l’hectomètre carré, le kilomètre carré, ..., on”

devra reculer la virgule, vers la gauche, de deux, quatre, SIK/ 00

rangs ; si l'on veut prendre, au contraire, pour unité le décimètre carré, le centimètre carré, le millimètre carré, on devra avancer la. virgule de deux, quatre, six rangs vers la droite. Si les chifires

manquent pour cela, on y suppléera par des zéros.

La VAT 4

Par exemple, si l’on veut prendre pour untté dam.?, la surface mesu-

rée par le nombre 48567,238 quand on prenait m.? pour unité, sera

mesurée par le nombre 485,67238 : en effet, si on décompose encore

ce dernier nombre en tranches de deux chiffres comme tout à

l'heure, on retrouvera exactement les mêmes tranches avec lamême .

signification. à

J'ai insisté sur ces détails, parce qu'il importe de se familiariser avec la signification concrète des nombres écrits dans le système | décimal, et qui mesurent des surfaces ; mais le lecteur ne doit pas.

oublier qu’on a donné au n° 175 (p. 195), une règle générale pour le

M DÉPENS en Pal”