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changement d'unités, qui. s'applique très bien ici : elle se traduira, dans le présent exemple, par les égalités

Ba mere 9 À NM dame,

m.2 48567,938— Tam? L > 18867 938

=— dam.” 485, 67238.

Sur la signification desquelles il me paraît inutile d'insister. Les symboles suivants représentent tous la même surface :

Ma.” 0,048567938 ; hm.? 4,8567238; dam? 485,67238 ; m.° 48567,238 ; dm.? 48567923,8 : em.? 4835672380.

À ces remarques se relient les règles qui suivent pour écrire et pour énoncer les nombres qui mesurent une surface.

Si on évalue une surface en disant successivement combien elle contient de myriamètres carrés, puis de kilomètres carrés, …., puis de millimètres carrés, c'est-à-dire en disant successivement quelle est sa mesure à un myriamètre carré près, par défaut, puis la mesure de ce qui reste quand on a ôté les myriamètres carrés, à un kilomètre carré près par défaut, puis la mesure de ce qui reste, à un hectomètre carré près par défaut, etc, les nombres que l’on énonce successivement sont moindres que cent, sauf peut-être le premier, qui se rapporte à là plus haute unité secondaire à laquelle on ait donné un nom; chacun de ces nombres (sauf peut-être le premier) sexprimera au moyen de deux chiffres, dont l’un ou l’autre peut d’ailleurs être un zéro. Pour écrire la mesure de la surface, on écrira ces nombres les uns à la suite des autres, en commençant par celui qui représente les unités secondaires les plus fortes, san omettre les zéros, en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à l'unité que l’on adopte. Ainsi, en prenant m? pour unité, la surface qui conliendrait hm.” #4, dam.° 85, m.°67, dm. 23, cm’ 80 sera représentée par le nombre 48567,2380.

On observera que, de cette façon, la partie décimale a toujours un nombre pair de chiffres, dont le dernier peut être un zéro.

On peut suivre la règle inverse pour énoncer un nombre écrit : on le partage en tranches de deux chiffres, à partir de la virgule, (ant en remontant vers la gauche qu'en descendant vers la droite. La dernière tranche de gauche peut n'avoir qu’un chiffre, celle de droite en a nécessairement deux; au besoin on la complète par un zéro. Chaque tranche représente des unités connues, que l’on n’a aucune

peine à énoncer, pourvu toutelois qu'elle corresponde à des unités dénommées, ce qui ne manquera guère d'arriver dans là pralique. On commence par la gauche. Par ‘exemple, en supposant que l'unité de la surface SO le mètre carré, le nombre 183 0020 s’énoncera 7 dam. , 83 m’, 20 cm... Le plus souvent, on énonce. un nombre dcinal qui mesure une surface en deux fois: ne 4 énonce d’abord la partie entière en faisant suivre du nom de L'unité. | . que représente le dernier chiffre ; puis on s'arrange, en ajoutant au Lo besoin des zéros, pour que la partie décimale ait un nombre pair de « chiffres, on l’'énonce ensuite comme un nombre entier, en ajoutant M décimètre carré, centimètre carré, millimètre carré, suivant qu'y a deux, quatre ou six chiffres. , D Ainsi, dans le dernier exemple, on dira: sept cent quatre-Hingies ‘rois mètres carrés, vingt cenimètres carrés. LIFE Il n'existe pas de mesures effectives de surfaces ; ee cis re luent au moyen de calculs effectués sur des longueurs mesurées, 4 d' après des règles qu’enseigne la Géométrie. 00

Ainsi la Surface d’un rectangle dont la base et la hauteur seraient 1 mêtre 54 et 4 décimètre, serait mesurée, en prenant le mètre carré pour unité, par 1 le nombre 4 x 0,1 — 0,1 ; elle serait égale à dix centimètres carrés. Æ

La surface d’un carré dont le côté est mesuré par le nombre 1,2, en 4 prenant le mètre pour unité, serait mesurée par le nombre (1,2)? A ie ‘14 elle serait égale à un mètre carré, 44 décimèêtres carrés. |

Si l'on admet, comme au n°115 (p. 195), que le rapport dela toiseau

$ Sd : : “ Re mètre sois: la toise carrée sera mesurée, en prenant le mètre

39 \ ? Le : " carré pour unité, par le nombre (5) : en désignant la toise carrte

par le symbole to.?, les égalilés Ô

29 ; 2 10 -—=m. (5) : mé to4( 5) à

écrites comme on l’a expliqué au n°175 (p. 195), ont un sens bise É clair ; elles permettront de passer, si l’on veut, d’une unité à l autre ; ù J par exemple les égalités

Lo.%8,72=m (2) K<8,72=—m23315178 4

veulent dire qu'une surface qui est mesurée par le nombre 8,72 ° Ÿ 4 La :

quand on prend la toise carrée pour unité est mesurée par le nom-

“bre 33,1578 quand on prend le mètre carré pour unité. AE

. 325. Mesures agraires. — Pour la mesure des champs, l'unité principale est le décamètre carré qui peut être appelé are; l’are vaut cent mètres carrés. Le seul multiple de l’are que l’usage ait conservé esl l'hectare, qui vaut cent ares : c’est un hectomètre carré; et le seul sous-multiple qui soit resté usité est le centiare, ou centième de l’are : c’est un mètre carré.

Les signes abréviatifs usités pour désigner l'hectare, l’are, le centiare sont respectivement ha., a., ca. —m. * La surface qui, en prenant pour unité le mètre carré, serait mesurée par le nombre 2873651 serait, en prenant l’are pour unité, mesurée par le nombre 28136,54 que l'on pourrait énoncer vingt-huit mille sept cent trente-six ares, cinquante-quatre centiares, ou deux cent quatre-vingt-sept ha., trente-six a., cinquante-quatre ca. .

326. Volumes. — La mesure des volumes donne lieu à des obser-

. vations analogues à celles que l'on a faites pour les surfaces.

* Rappelons d’abord que l'on appelle parallélépipède RARUEATEES le volume construit comme il suit :

Considérons un rectangle ABCD (fig. 19) que le lecteur pourra se figurer comme étant situé dans un plan horizontal; par les sommets A, B, C,D menons au plan de ABCD des perpendiculaires du même côté du plan et prenons sur elles des lon:

gueurs égales AA’, BB’, CC’, DD’; complétons, en joignant A'et B’, E' et C’, C' et D’,D'et A, les rectangles ABB'A/, BCC/B/, DCC'D', ADD'A'; le $ volume limité d'une part par ces a quatre rectangles latéraux, d'autre 4 — part par les deux rectangles ABCD, A'B'C/D' sera un parallélépipède

rectangle. Les six rectangles qui le limitent sont ses faces, ils sont

deux à deux égaux et situés dans des plans parallèles ; les côtés de ces, rectangles sont les arétes du parallélépipède ; il y en a douze ; elles sont, quatre par quatre, égales et parallèles : telles sont AB, CD, A'B, C'D’. Chacune des douze arêtes est égale à l’une des trois arêtes qui partent d'un même sommet: ces trois arêtes sont les trois dimensions du parallélépipède. L'une quelconque des faces peut être

prise pour la base du parallélépipède ; la hauteur correspondante

est alors l’arête perpendiculaire au plan de cette face. Quand toutes les dimensions d’un parallélépipède rectangle sont

ésales, ce parallélépipède prend le nom de cube; toutes les faces

sont alors des carrés égaux, toutes les arêtes sont égales au côté de.

l'un de ces carrés. Deux cubes de même arête sont égaux.

327. On peut empiler des cubes égaux de manière que la base inférieure de chacun d’eux recouvre exactement la Pees supérieure du cube placé au-dessous de lui.

On a figuré ci-contre trois cubes empilés ainsi les uns surles autres (fig. 20) ; ils forment dans leur ensemble un parallélépipède rectangle qui peut être regardé comme ayant une base carrée ABCD

et une hauteur A;,égale au triple du côté de cette base. ù

que leurs faces latérales coïncident.

aucun vide et placés de façon que chaque face cubiques, bien taillés et bien rangés, donnerait

cubes placés les uns à côté des autres.

ainsi formé en ajoutant des cubes égaux, on obtient immédialement le nombre qui mesure ce volume quand on prend pour unité de volume l’un de ces cubes, c’est le nombre {entier) de cubes qu'il contient.

Tel scra, par exemple, le cas, si l'on prend pour unité de volumele

cube construit sur AB commearêle (fig.21), d'un parallélépipède rec-

tangle PQRSP'/Q'R'S' pour lequel chaque dimension contiendrait ABun

nombre exact de fois : Supposons, par exemple, que PQ, PS, PP! contiennent AB respectivement 4 fois, 5 fois, 8 fois. La base PQRS pourra être décomposée en 4.5 carrés égaux au carré construit sur

AB comme côté ; sur chacun de ces carrés on pourra empiler trois.

cubes dont l'arête soit égale à AB ; on aura ainsi rempli entièrement

le parallélépipède rectangle de cubes égaux; il y en aura en tout.

autant de fois trois qu'il y a de carrés dans la base; dans la base il

y à 4.5 carrés ; il y aura donc en tout 3 >< (4.5) — 8.4.5, c’est-à-dire.

un nombre égal au produit des nombres entiers qui expriment com-.

bien de fois AB est contenu dans chacune des dimensions du parallélépipède : si l'on prenait AB pour unité de longueur et le cube

construit sur AB comme unité de volume, les dimensions du paral-

On peut placer aussi des cubes égaux de races 2

On peut enfin supposer que l’espace tout entier soit rempli de cubes égaux, ne laissant entre eux

soit commune à deux cubes. Un tas de pavés un exemple de la figure formée ainsi par des |

Si l’on considère un volume qui puisse être