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lélépipède seraient mesurées par ies nombres 5, 4, 5 et le volume du cube, par le produit 3.4.5. D'où la conclusion suivante :

Si l’on prend pour unilé de volume le cube construit sur l’unilé de longueur, le volume d'un parallélépipède rectangle dont les dimen-

S- x pa

Fig. 21.

sions sont mesurées par des nombres entiers, est mesuré lui-même par le produit de ces trois nombres entiers.

En particulier, le volume d'un cube dont l’arête est mesurée par un nombre entier est mesuré lui-même, dans ces conditions, par le cube de ce nombre entier.

Si, par exemple, l’arête d’un cube contient 2, 5, 4, .…. fois AB, ce © cube contiendra 8, 27, 64, … fois le cube construit sur AB.

#4 328. On appelle mètre cube, décimètre cube, centimètre cube, mile “ ; limètre cube les volumes contenus dans des cubes dont les arêtes sont respectivement un mètre, un décimètre, un centimètre, un millimètre. EU ; Si l’on prenait pour unité de longueur le décimètre et pour unité nu de volume le décimètre cube, les dimensions du mètre cube seraient toutes Les trois mesurées par le nombre 10; le mètre cube contient donc 40.10.10 — 10% — 1000 décimètres cubes; en d’autres ter: mes. le décimètre cube est la 1000ième partie du mètre cube; de même le décimètre cube contient 1000 centimètres cubes, le centimètre cube contient 1000 millimètres cubes, le mètre cube contient 1000.1000 — 1000000 centimètres cubes, 1l contient

1000000 ><1000 — 1000000000 millimètres cubes.

329. Mesure du parallélépipède rectangle. — Plus généralement, ne si l'on prend toujours pour unilé de volume le cube construil sur #4 l'unité de longueur, le volume d'un parallélépipède rectangle dont 200 Les trois dimensions sont commensurables à l'unité de longueur, ( a pour mesure le produit des trois nombres qui mesurent ses dimensions. :* TRS

Supposons que ces trois derniers nombres soient des fractions; rien n'empêche de supposer que ces fractions aient le même déno-

o < ja minateur, qu’elles soient, par exemple, égales à . 4 : si l'on pre- | a. nait pour nouvelle unité de longueur le Tième c'e celte unité, el pour NW nouvelle unité de volume les cubes construits sur cette nouvelle M unité de longueur, les dimensions du parallélépipède seraient mesu- M rées par les nombres entiers 3, 4, 5, son volume par le nombre 0 ; 3.4.5: l’ancienne unité de volume serait de même, avec la nou- . velle, mesurée par le nombre 7.7.7; donc le nombre qui mesure lé 2 parallélépipède rectangle avec l'ancienne unité de volume est bien |

ee Ro nr ie

e ah à c'est ce qu'il fallait démontrer. 1 En particulier, si l’on prend pour unité de volume le cube construit

sur l'unité de longueur, on voit que le volume d’un cube quelconque, dont l’arête est commensurable à l’unité de longueur, est mesuré

+ parle cube du nombre qui mesure son arête. ï CR Si l'on prend pour unité de longueur le mètre et pour unité de

volume le mètre cube, les volumes du décimètre cube, du centimètre cube, du millimètre cube seront mesurés respectivement par les nombres | (0,1)°— 0,001, (0,01) — 0,000001, (0,001) = 0,000000001,

ce qui est conforme aux résultats antérieurs.

330. Considérons maintenant un volume V limité par une surface quelconque S. Imaginons que l’espace soit rempli de petits cubes égaux, l'arête de chacun de ces cubes étant la nième partie de l'unité de longueur; en sorte que l'unité de volume, le cube constrüit sur l’unité de longueur, contienne n° de ces petits cubes. Imaginons que l’on compte combien il y a de ces cubes qui remplissent l’espace, à l'intérieur deS ; supposons qu'il y en aitp; ces p cubes pris ensemble forment un volume V' plus petit que V, mais qui, d'ordinaire, en dilfère très peu si n est assez grand. 4

En désignant par q le nombre des petits cubes de l'espace traversés par lassurface S, le volume formé par ces cubes est très peu épais, et le volume V/formé par ces p+-q petits cubes débordeun peu au delà du volume V; ce volume V doit être regardé comme mesuré par un nombre compris entre les deux nombres et ue qui mesurent les volumes V! et V/; on démontre, sous certaines conditions, que, si l’on prend » assez grand, ces deux nombres diffèrent très peu; ils peuvent être pris comme des valeurs approchées de la mesure de V, par défaut et par excès.

331. L'unité principale de volume est le mètre cube; ses sousmulüples sont le décimètre cube, le centimètre cube, le millimitre cube, définis plus haut. |

Le signe abréviatif du mètre cube est m°; on pourra se servir des signes km. , m., dm. ,cm., mm. , pour représenter le kilo- -mètre cube, le rnètre cube, ..., le millimètre cube.

Le kilomètre cube vaut 1 C0) 000000 dé mètres cubes.

Quand on a écrit un nombre représentant un volume en prenant le mètre cube pour unité, 1l suffit de multiplier ce nombre par 1000, 1000000, 1000000000, ou d'avancer la virgule de trois, six, neuf rangs vers la droite, pour écrire le nombre qui représente le même volume quand on prend pour unité dm.°, cm.*, mms.

Pour évaluer un volume, on peut dire combien ce volume contient de mètres cubes, puis de décimètres cubes, puis de centimètres

cubes, puis de millimètres cubes, c'est-à-dire énoncer la mesure du

volume à un mètre cube près par défaut, puis la mesure de ce qui

reste quand on a ôté les mètres cubes, à un décimètre cube près par défaut, etc... Les nombres qui représentent les décimètres cubes, les centimètres cubes, les millimètres cubes sont moindres

que mille; on les regardera comme représentés par des nombres de.

trois chifices, chiffre qui peuvent d’ailleurs être des zéros.

Pour écrire le nombre qui mesure le volume, on écrira d’abord te nombre dé mètres cubes, puis le nombre de décimètres cubes, puis le nombre de centimètres cubes, puis le-:nombre de millimètres cubes, sans omettre les zéros, et en plaçant la virgule après le nombre qui correspond à l'unité choisie.

Ainsi, un volume comprenant 3 m5, 72 dm”. 5 cm. s'écrira 3,072005 en prenant le mètre cube pour ueité, et 3072,005 en prenant le décimètre cube pour unité.

En opérant ainsi, la parlie décimale à trois, six ou neuf chiffres, dont les derniers peuvent d’ailleurs être des zéros.

Pour énoncer un nombre décimal qui mesure un volume, on peut suivre une règle inverse; supposons que l'unité soit le mètræcube : on s’arrangera d'abord, par l’adjonction de zéros à droite, pour que la partie décimale contienne trois, six ou neuf chiffres, et on la séparera en tranches de trois chiffres; la première à partir de la viroule correspondra aux décimètres cubes, la seconde aux centimètres cubes, la troisième aux millimètres cubes. On énoncera d’abord la parlie entière en faisant suivre des mots mètres cubes, puis chaque tranche en faisant Suivre du nom de l'unité correspondante; on peut aussi énoncer le nombre en deux fois : d’abord la partie entière, en faisant suivre des mots mètres cubes, puis la partie décimale, en faisant suivre des mots décimètres cubes, centimètres cubes, millimètres cubes, suivant qu’elle a trois, six ou neuf chiffres.

, Ainsi le nombre 21,0102, en supposant que le mètre cube soit

l'unité, s’énoncera vingt et un mètres cubes, dix décimètres cubes, deux cents centimètres cubes, ou bien vingt et un mètres cubes, dix mille deux cents centimètres cubes. ;

Le lecteur verra sans peine comment ces règles devraient être modifiées si l’on prenait pour unité le décimètre cube, le centimètre cube, ..… au lieu du mètre cube.

Sauf pour les grains et les liquides, on ne construit pas de

mesures cffectives de volume. On enseigne en géométrie, au moins

dans les cas simples, des règles qui permettent d'obtenir la mesure d'un volume en ne mesurant que des longueurs rectilignes.

A NON MR ER RX à

332. Stère. — Lorsqu'il s’agit de bois de chauffage, le mètre cube peut être appelé stère. Le stère et le décistère (dixième de stère) se représentent par les abréviations : st = m.ÿ, dsl.

333. Mesures de capacité. — Pour les liquides, grains ou matières analogues, l'unité de volume est le décimètre cube qui peut être appelé litre d'après l’article 1° du décret du 26 juillet 1919. Les fondateurs du système métrique avaient défini le litre comme égal à un décimètre cube : cette définition est restée légale jusqu’à la promulgation de la loi du 11 juillet 1903. Il a paru préférable à cette époque à la Conférence générale des Poids et Mesures d’adopter une autre définition qui sera indiquée tout à l'heure; mais cette définition diffère si peu de l’ancienne qu’il n°v a aucun inconvénient, dans la pratique, comme l’autorise le décret de 1919, à conserver celle-ci. |

Les signes abréviatifs pour l’Aectolitre (100 litres), le décalitre (10 litres), le litre, le décilitre (dixième de litre), le centilitre (centième de litre), le millilitre (millième de litre) sont respectivement :

NÉS dal Tate.

334. Les mesures effectives pour les liquides sont au nombre de treize, cinq grandes et huit petites.

Les cinq grandes, construites en cuivre, tôle ou fonte, ont la forme de cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur: le calcul des dimensions résulte nt de l’application des règles de Géométrie. Ces mesures sont l'hectolitre, le demi- Étoitos le double-décalitre, le décalitre, le demi-décalitre. Les huit petites, construites généralement en étain, sont des cylindres dont la profondeur est double du diamètre intérieur : ce sont le double-litre, le litre, le demi-litre, le double-décilitre, le décilitre, le demi-décilitre, le double-centilitre, le centilitre. Pour le lait et l'huile, ces huit petités mesures sont en fer-blanc ; ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur.

Pour les graines et matières sèches, les mesures effectives sont au nombre (de onze, depuis l'hectolitre jusqu’au demi-décilitre. Ce sont des cylindres dont la profondeur est égale au diamètre intérieur, construits en bois, cuivre ou tôle.

366 LEÇONS D’ARITIHMÉTIQUE.