Soient V;, V:, …, Va les nombres qui mesurent, quand on

prend le centimètre cube pour unité, les volumes de corps formés

d’une même matière homogène, de densité æ'; soient P;, P;, 4, P,*

les nombres qui mesurent les poids de ces mêmes corps quand on prend le gramme pour unité ; les nombres P,, P,, …., P, sont proportionnels aux nombres Vi, V2, …., V, puisqu'ils peuvent se déduire de ces derniers en les multipliant par un même nombre d. Il résulte de là que le rapport de deux nombres P, P' pris dans la suite P,, P, …, P, est égal au rapport des nombres correspondants V, V' pris dans la suite V,, Vi, …, Va; en d'autres termes, on peut écrire

V P VE Pr

Chacun de ces rapports est indépendant de l'unité qui a servi à mesurer, soit les volumes, soit les poids: on a donc ce théorème : Si l'on considère deux corps formés avec une matière homogène, le rapport de leurs volumes est égal au rapport de leurs poids: c’est ce qu'on exprime en disant que les volumes sont proportionnels aux poids.

343. Je vais maintenant essayer de dégager ce qu'il y a de général dans ce qui précède. Nous venons de voir comment les poids et les volumes d'une même matière homogène étaient liés, de telle façon que la connaissance de l'une entraînait la connaissance de l'autre ; mais on conçoit qu'une liaison de même nature puisse se présenter dans bien des cas, entre des grandeurs de même espèce : ou d'espèce différente.

Pour citer un autre exemple familier, il est clair que le prix d’une matière dépend de la quantité de celte matière que l’on vend. Supposons, pour simplifier, que les échanges se fassent de la façon suivante : en échange d’une certaine quantité de la matière considérée qui sera, si l’on veut, du vin d’une certaine qualité, l'acheteur livre un certain poids d’un métal précieux, d’argent, si l’on veut. Neus appellerons franc un poids déterminé d’argent : ce sera l’unité de monnaie. Les conventions suivantes s'imposent en quelque sorte

d’elles-mêmes : Pour une même quantité de vin, on livrera toujours

lé même poids d'argent ; pour deux quantités de vin, prises ensemble, on paiera la somme des poids d'argent qui auraient servi à payer chacune d'elles. On reconnaît là des conditions toutes pareilles à celles qui ont été énoncées au n° 339 (p. 368) ; elles entraïneront des conséquences toutes pareilles : je me contenterai de les énoncer.

Si l'unité qui sert à mesurer le vin, le litre par exemple, se payait un franc, les nombres qui mesureraient une quantité quelconque de vin et le prix de cette quantité de vin seraient égaux.

En général, le prix d’une certaine quantité de vin, en prenant le franc pour unité, s'obtient en multipliant le prix d’un litre de vin par le nombre qui mesure cette quantité de vin, quand on prend le litre pour unité. à

Si on considère, d'une part, diverses quantités de vin et les nombres qui les mesurent, puis les nombres qui en mesurent les prix, les nombres de la seconde suite sont proportionnels aux nombres de la première. 3

Le rapport du nombre qui mesure la quantité de vin qu'on achète au nombre qui mesure le prix dont on la paie est constant: il est égal, au prix d’une quantité de vin égale à l'unité, d’un litre de vin si on mesure le vin en litres. |

Le rapport des prix de deux quantités de vin est égal au rapport de leurs volumes. ,

344. Alliages. Titre. — Voici encore un autre exemple dont nous aurons bientôt besoin; supposons qu’on fonde ensemble deux lingots de métaux différents, d’or et de cuivre, par exemple, et que le mélange en soit parfait: on aura ainsi un alliage. :

En disant que le mélange est parfait, on entend que, si l'on prend, deux quantités égales de l'alliage, deux poids égaux, pour fixer les idées, ces deux quantités contiendront toujours le même poids d’or. il est clair aussi que, si on prend deux morceaux quelconques de l'aliage, le poids d’or contenu dans les deux morceaux réunis sera la somme des poids d’or contenus dans chacun des morceaux, de: même que le poids total des deux morceaux réunis est la somme des . poids de ces deux morceaux. .

Le lecteur reconnaît encore ici des conditions analogues à celles du n°339 (p. 368) et qui entraînent des conséquences semblables. |

On appelle titre d’un alliage formé d’un métal précieux ou métal fin et d'un autre métal le nombre qui mesure le poids du métal fin contenu dans un gramme d’alliage, quand on prend pour unité de poids le gramme. Habituellement, on donne à l’alliage le nom du

métal fin qui y domine.

Ainsi dire qu'un alliage d’or est au titre , cest dire que, si on

prend un gramme de cet alliage, il contiendra un poids d’or égal à g. 0,9.

Si l’on considère un poids quelconque de l'alliage, on obtiendra le poids d’or qu'il contient, exprimé en grammes, en multipliant le ütre par le nombre qui mesure le poids de l’alliage.

Cela est évident si le poids de l’alliage est un nombre entier, 11 par exemple : chaque gramme d’alliage contenant un poids d’or

€ mesuré par le nombre" , Sile titre est , le poids d’or contenu

dans 11 grammes sera ALL

Supposons maintenant que le poids d’alliage soit mesuré par une

; 41 nie As AO fraction, re -Par exemple. Si l’on divise un gramme d'alliage en 1 parues égales, chaque partie contiendra le même poids d'or : comme les 7 parties, en tout, contiennent un poids d’or mesuré par

le nombre, chacune en contiendra un poids mesuré par

9 , RON nombre 0.7 ; 11 de ces parties contiendront un poids d’or mesuré

par le nombre 9 mn Herr l LOST AOL ET à

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si l'on considère plusieurs morceaux de l’alliage dont les poids respectifs soient mesurés par les nombres &, &:, .…., 4än, quand on prend le gramme pour unité, et que l’on désigne par b,, b, ..…., b, les nombres qui mesurent les poids d’or contenus dans ces morceaux, quand on prend encore le gramme pour unité, les seconds nombres s’obtiendront en multipliant les premiers par un même nombre, le titre : ils seront proportionnels aux premiers.

En divisant le nombre qui mesure le poids d’or contenu dans’ un . morceau d'alliage, quand on prend le gramme pour unité, par le nombre qui mesure le poids du morceau, on obtient toujours le même nombre, le titre de l’alliage.

Puisque le titre d’un alliage est le rapport du Did du métal fin et du poids d'alliage pour un même morceau, et que ce rapport ne dépend pas de l'unité de poids, que l’on suppose seulement être la

même pour le métal fin et l’alliage, on peut dire que le titre d’un alliage quelconque est le nombre qui mesure le poids de métal fin contenu dans l’unité de poids de l’alliage.

Enfin il résulte encore de ce qui précède que le rapport des poids de métal fin contenu dans deux morceaux d’un même alliage est égal au rapport des poids de ces deux morceaux.

345. Grandeurs proportionnelles. — Considérons généralement deux sortes de grandeurs (1) (A), (B) qui dépendent l’une de l’autre, qui varient ensemble, de telle sorte que l'une soit déterminée quand l'autre l’est aussi; on dit que les deux grandeurs sont proportionnelles lorsque le rapport de deux grandeurs A;, A, de la première espèce est toujours égal au rapport des deux grandeurs correspondantes B;, B; de la seconde espèce. |

Si l’on suppose que les deux grandeurs soient mesurées dans divers états, l’une avec une unité, l’autre avec une autre unité, aux états de la première grandeur correspondront des nombres &, 2, ….; An, AUX états de la seconde correspondront des nombres b,, b:, …, bn ; le rapport de deux nombres de la première suite sera toujours égal au rapport des nombres correspondants de la seconde suite : les deux suites de nombres seront donc proportionnelles. Réciproquement, si les suites de nombres qui mesurent les grandeurs dans leurs différents états sont proportionnelles, les grandeurs sont elles-mêmes proportionnelles, dans le sens qu'on vient de donner à ce mot. La proportionnalité des suites ne peut dépendre des unités qu'on a choisies pour mesurer les grandeurs, car si l’on change l’une de ces unités, tous les nombres &, @, .…, an, où. tous les nombres B4, B, .., b, sont multipliés par un même nombre (n° 175, p. 195) ; et siles doué suites étaient proportionnelles avant la multiplication, elles le resteront après.

Tous les nombres de la seconde suite s’obtiennent en multipliant par un même nombre les termes de la première suite. Le rapport d’un nombre de la seconde suite au nombre correspondant de la première est constant : il est égal au nombre de la seconde suite qui correspondrait au nombre 1 de la première ; c’est le nombre qui mesure la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à l'unité de grandeur de l’espèce (A). |

Si l’on prend pour mesurer les deux espèces de grandeur (A) et

1. Le symbole (A) ne désigne pas ici une grandeur déterminée, mais seulement l'espèce de cette grandeur : en disant une grandeur (A), j'entends une grandeur de l'espèce (A) ; vis ie voudrai parler de grandeurs déterminées de celte espèce, j'emploierai les notaliôns A4, A2,...:; de même pour les grandeurs de l'espèce (B).

Le";

(B) deux grandeurs cofrespondantes, les nombres 1 et 1 se corres-

pondent dans les deux suites, tous les nombres d’une suite sont égaux aux nombres correspondants de l’autre; le nombre qui

mesure une grandeur de l'espèce (A) est égal au nombre qui mesure

la grandeur correspondante de l'espèce (B).

Les grandeurs (A), (B) sont proportionnelles si les conditions suivantes sont vérifiées (!) : à deux grandeurs égales de lespèce (A) correspondent des grandeurs égales de l'espèce (B) ; à la somme de deux grandeurs de l'espèce (A) correspond la somme des deux

grandeurs correspondantes de l'espèce (B).

Inversement si les grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, on

voit tout de suite que les conditions précédentes sont vérifiées : les

conditions sont nécessaires et suffisantes.

346. Siles deux grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, on a

= par définition,

en désignant par Ai, A: deux grandeurs de la première espèce (A), par B:, B, les deux grandeurs correspondantes de l'espèce (B); si le premier rapport est un nombre entier,n, c'est-à-dire si A: est la somme de x grandeurs égales à A,, le second rapport est égal au même nombre entier, B, est la somme de n grandeurs égales à B:; c'est ce que l’on exprime en disant :

Si deux grandeurs (A), (B) sont proportionnelles, lorsque la

première devient n fois plus grande (ou plus petite), la seconde

devient aussi n fois plus grande (ou plus petite). Réciproquement, si deux grandeurs (A), (B) sont hées de telle façon que la première devenant n fois plus grande (ou plus pelite),

. Ja seconde devienne aussi x fois plus grande (ou plus pete), et cela

quel que soit », ces deux grandeurs sont proportionnelles. Soient, en effet, A1, A, deux grandeurs de l'espèce (A), B:, B: les deux grandeurs correspondantes de l'espèce (B). A RTE Supposons, par exemple, que le rapport Fe soit égal à ET c'està-dire que la grandeur A, soit la somme de 4 grandeurs égales à la cinquième partie de A,; nous désignerons par À; la cinquième par:

| tie de A, et par B; la grandeur de l'espèce (B) qui correspond à A:

Puisque la grandeur A, est 5 fois plus grande que A3, la grandeur

1. Ces notions seront reprises sous une forme plus abstraite au chapitre xu.

B:, qui correspond à A,, devra de même être 5 1ois plus grande que

Bs, la grandeur B, doit être 4 fois plus grande que B;; B; est donc la somme de quatre grandeurs égales à B;, dont chacune est la partie de B, :le rapport LE est donc, comme le rap-

port À , égal à — . La proposition est démontrée.

Las en finir avec ce sujet, disons quelques mots des grändeurs inversement proportionnelles.

347. Grandeurs inversement proportionnelles. — Les grandeurs que l’on a définies jusqu'à présent comme proportionnelles sont dites aussi directement proportionnelles ; l'adverbe directement peut se sous-entendre ; l'adverbe inversement ne se sous-entend jamais.

Deux grandeurs (A), (B) sont dites inversement proportionnelles.

si elles sont liées de telle façon qu’à un état déterminé de l’une corresponde toujours un état déterminé de l’autre et si, désignant par A1, A: deux états de la première et par B;, B, les deux étais correspondants de la seconde, on a toujours

A B; Asie DL

S'il en est ainsi et si l’on considère la grandeur (A) dans divers états A1, A2, A:, … et la grandeur (B) dans les états correspondants B:, B>, B:, .… ; si l’on désigne par @, &, &:, ... les nombres qui me-

surent A4, A», A3, par 01, Ds, bs, … les nombres qui mesurent

B;, B>, B:, .…, les nombres des deux ensembles correspondants

A, As Az. :.., Ds, ER Da,

seront inversement proportionnels. En effet, on a, par exemple,

À» (22) 1 B: rer D E à AS de Br ba : , : iAe B :

et puisque l’on doit avoir = , ON aura aussi a — es c'est ce 3 2 3 2 :

qu'il fallait démontrer.

Inversement, si les grandeurs (A), (B) sont liées de telle façon

que, en désignant par @, d:, 43 .… les nombres qui mesurent la.

première grandeur dans les états A;, A», A:, ... et par b:, be, Ds,

les nombres qui mesurent la seconde grandeur dans les états B,,.

B;, Bs, .…., qui correspondent à A, A:, A, .…, les nombres des deux ensembles