RÈGLES DE TROIS

Chaque grandeur étant mesurée, dans les deux états où on doit la considérer, avec une unité, on connaît les nombres @4, bi, Ca, ..….; Dis Qu Ta, … qui mesurent A;, B1, C1, .….; Ps, Qi, Ri,.… et les nombres Ua, O2, C2, .….; Da, Qe, T2, «. qui mesurent A), Bo, Co, ...; Po, Q, Ro, en désignant par x,, x, les nombres qui mesurent X;,, X:, on connaîl l’un de ces nombres x,, on demande l’autre æ:.

La méthode de réduction à l'unité, qui a déjà été employée pour les exemples de règles de trois simples, va nous fournir la solution de ce problème, en supposant toutefois que tous les nombres à, b:, Ci 5 Dis Gas l'as --. @Ù Un, Da, Ca, 2.5 Da, Gas l'a, à. SOlent entiers.

Cette méthode consiste à trouver le nombre qui mesure la grandeur {X) quand les grandeurs (A), (B), (C), ..….; (P), (Q), (R), … sont respectivement égales à leurs unités, et cela en partant de ce que l'on connaît le nombre x, qui mesure (X), quand les grandeurs (A), (B), (C), …; (P), (Q), (R),.… ont des valeurs mesurées par les nombres @:, Di, C1, 3 Da, Qu, Ta, .…. On calcule ensuite la valeur du nombre æ qui mesure (X) quand les grandeurs (A), (B), (C), ..….; (P), (Q), (R), … sont mesurées par les nombres @z, U2, Ca, ...: Da, Qas Ta, .…. On raisonne comme il suit : |

Quand la grandeur (A) est mesurée par le nombre a, et que les grandeurs (B), (GC), .….; (P), (Q), (R), .… sont mesurées parles nombres Di, Cas... Pa, Qu, Ta, …, la grandeur (X) est mesurée par le nombre x1. Si (A) devenait égale à l'unité, c'est-à-dire a, fois moins grande, et que les autres grandeurs (B), (C)....; (P), (Q), (R), … restassent les mêmes, la grandeur (X) deviendrait aussi 4, fois moins grande, et

. . . Fr x A = serait ainsi mesurée par le nombre . ; de même si, la grandeur (A)

restant égale à l'unité, la grandeur (B) devenait égale à l’umité, les autres grandeurs (C), .…; (P), (Q), (R), … restant les mêmes, la grandeur (X) deviendrait, comme la grandeur (B), b, fois moins grande, et serait alors mesurée par le nombre . : si ensuite la grandeur LEE

(C) devenait égale à l'unité, toutes les autres grandeurs conservant les mêmes valeurs que dans la phase précédente, (X) serait mesurée

DER PAIE jusqu’à ce qu'on ait ramené à l'unité chacune des grandeurs (A), (B), (C), … auxquelles (X) est directement proporüonnelle ; quand cela est fait, (P), (Q), (R), …, ont toujours les mêmes valeurs et (X)

%1,__; si maintenant la grandeur (P) Gi01C1...

par le nombre les choses continueront de la même façon,

est mesurée par le nombre

devient égale à l’unité, c'est-à-dire m1 fois plus petite, la grandeur - (X), qui est inversement proportionnelle à P,, devient p, fois plus

L1Pi

grande ; elle est mesurée par le nombre mise 1Y1LVi..e

o 4 S\ QUE 4 LA x . L devient égale à l’unité, (X) est mesurée par le nombre ARE, : Si 148

di 1ALi-ee

grandeur (R) devient aussi égale à l’unité, la grandeur (X) est mesu-

rée par le nombre d10:1C1...

nées à l'unité, la grandeur (X) est mesurée par le nombre re ds: 14 Cr

Au numérateur figurent comme facteurs, outre le nombre x,, tous les nombres qui mesuraient, dans le premier état, les grandeurs (P), (Q), (R), .…., auxquelles la grandeur X est inversement proportionnelle; au dénominateur figurent comme facteurs tousles nombres

qui meSuraient, dans le premier état encore, les grandeurs (A), (B),.

(C), .…., auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle. La première partie du problème est résolue ; la seconde se résou-

(Q), (R), .…., dont chacune est maintenant égale à l’unité correspondante, prennent successivement les valeurs qui répondent au second état.

Ainsi quand (A), au lieu d’être l'unité, devient égale à a, unités,

pendant que les autres grandeurs restent respectivement égales à

l'unité, la grandeur (X) devient a: fois plus grande qu’elle n’était et LiDiQaT 4. de ; d101C1..… vient égale à d, unités, la grandeur {(X) est mesurée par le nombre LiP1Q114. ads da0iC1:.. | même, toutes les grandeurs auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle ont pris les valeurs qui correspondent au se-

se trouve mesurée par le nombre ; puis quand (B) de-

; quand (C) est devenue égale à & unités, puis que, de

: À x T4. Qo0oC2.…. à cond état, (X) est mesurée par le nombre EE : si di 1C14-.

maintenant (P) devient égale à p2 unités, (X) devient », fois plus

petite et est mesurée par le nombre M Ter L'PAA e72

toutes les grandeurs (Q), (R), … sont devenues, l’une après l’autre,

égales à g: unités, à r, unités, elc., la grandeur (X) est dans le second état : elle est mesurée par le nombre |

-; enfin, quand

aDaQ al. -ArdoC»..

À sn ( ) ; di01Cs. . -P29 272. FE

; Si la grandeur (Q)

; quand toutes les grandeurs sont rame- -

-dra de même, en supposant que les grandeurs (A), (B), (C), ….; (P),

PA

Outre les facteurs déjà énumérés, on a introduit au numérateur,

. cette fois, les nombres @:,b:,0:,.. qui, dans le second état, mesurent

les grandeurs (A), (B), (G), .… auxquelles la grandeur (X) est directe-

ment proportionnelle, et, au dénominateur, les nombres 7, q2, T3,

qui, dans le second état encore, mesurent les grandeurs (P), (Q),

(R), … auxquelles la grandeur (X) est inversement proportionnelle. L'évalité précédente résout le problème posé. On en tire

La G> Ü2 C2 Pa Qi Ti

Me UD Cu ET iDaa ds Ta ee

d'où la conclusion suivante : le rapport des nombres qui mesurent la grandeur (X), dans le second état et dans le premier, est égal au produit des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est directement proportionnelle, multiplié par le produit des inverses des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est inversement proportionnelle.

Il est à remarquer que chacun des rapports est indépendant de l'unité choisie pour mesurer la grandeur qu'il regarde : si, dans les deux états de cette grandeur, les nombres qui la mesurent se trouvaient être fractionnaires, on pourrait, en changeant d'unité, s’arrancer pour qu'ils fussent entiers; le rapport ne changerait pas. Cette remarque montre que la formule précédente et la formule (1), qui lui est équivalente, subsistent lorsmême que les nombres @,,b;, c1,...; Das Gus las. OÙ 2, Va, C2s...3 Pas Q2 Va, .… Sont fractionnaires, bien que le raisonnement suppose qu'ils soient entiers.

On observera que le raisonnement par lequel on est parvenu à l'expression de la mesure d’un parallélépipède rectangle dont on connaît les dimensions, est un cas particulier du précédent.

$ 2. — Intérêts simples.

361. Le prêt à intérêt consiste à prêter une certaine somme d'argent, un capital, à cette condition que, pendant le temps où 1l jouira de ce capital, l'emprunteur versera au prêteur une certaine somme, dite intérét du capital. Le capital, d’ailleurs, appartient toujours au prêteur. |

Dans le prêt à intérêt simple, on admet les conditions qui suivent:

L'intérêt produit par un capital pendant un certain temps est pro-

portionnel à ce capital, au temps du prêt et au {aux de l'intérêt,

qu’il nous reste à définir.

à QT AE 3 PPT OR TNT EN RES LL. ( 7 PRE RTS TRE PAU TR VEN È CNE En UN

Le taux de l'intérêt, c’est, à proprement parler, l'intérêt rapporté pendant l’unité de temps par l'unité de capital : par exemple, si l'on

prend pour unité de temps l’année, pour unité de monnaie le

franc, ce sera l'intérêt rapporté par 1 franc prêté, ou placé, Pots 1 an.

Le taux est habituellement représenté par une fraction dont le dénominateur est 100 et le numérateur un nombre simple comme 1, 2,3, 4,5, 6; il peut être d’ailleurs un nombre fractionnaire comme 3,9 ou 4,5 (trois et demi, quatre et demi). L'habitude est d’énoncer d’abord le numérateur en faisant suivre des mots pour cent, que l’on sous-entend même quelquefois, lorsqu'il n’y a pas d’ ambiguïté possible. En écrivant, au lieu d'employer la notation habituelle des

fractions ordinaires ou décimales, on écrit souvent le numérateur -

en faisant suivre du symbole ‘/,, qui s’énonce pour cent. Ainsi on * dira le taux quatre pour cent, le taux quatre et demi pour cent, et l'on écrira 4 /,, 4 ‘/2 °/, au lieu de 0,04 ; 0,045. Quand on n’énonce

pas l'unité de temps, c’est l'année qui est cette unité; mais on peut -

employer les mêmes façons de parler, en se servant d’autres unités de temps ; ainsi prêter à 20/, en prenant le semestre pour unité de temps, c’est la même chose que de prêter à 4°/, en prenant pour unité de temps l’année. L'expression pour cent s'explique. d'’ellemême : si le taux est, par exemple, 5 ‘/,, c’est que cent francs rapportent cinq francs.

On employait autrefois l'expression : préter au denter tant, par

exemple au denier vingt, au denier douze. Gela revient à représenter le taux par une fraction dont le numérateur est un, et dont le dénominateur est le nombre que l’on fait précéder de l'expression aw

1 | | denier ; ainsi, puisque l’on a —— Sy > Prêter à 9 0/, c'est prêter

D au denier 20, et l’on entendait par là qu’un denier était rapporté par vingt deniers.

La relation qui existe entre l'intérêt, le capital, le temps du prêt et le taux résulte immédiatement de la règle du n° 360 (p. 390). Supposons que, en prenant une certaine unité de monnaie et une certaine unité de temps, le capital, le taux, l’intérêt, le temps du prêt soient représentés par les nombres A, r, a, t; on observera que a et r peuvent être regardés comme des nombres qui représentent les intérêts respectivement rapportés par les capitaux A et 1 pendant les

temps { et 1; on doit donc avoir, d'après les conventions adoptées,

a Al LOU OU == AT

Lelecteur pourra reprendre, pour démontrer cette formule, le raisonnement de la réduction à l'unité, en supposant que les unités de monnaie et de temps soient le franc et l’année, et en outre que les nombres A et { soient des nombres entiers.

Au bout du temps ! le prêteur possède, outre la somme prêtée A, l'intérêt Art de cette somme ; il possède donc la somme

A+ Art=A(l+rt);

c’est là la valeur acquise par la somme A au bout du temps #.

La relation a— Art entre des quatre quantités a, À, r,{ permet, quand trois de ces nombres sont connus, d'en déduire le quatrième. On a ainsi les relations

a a a HAT Eire T=—— A A?

À — qui font connaître le capital qu'il faut placer à un taux donné r, pendant un temps donné f{, pour avoir un intérêt donné a, etc... Chacune de ces formules peut d’ailleurs s'établir directement par le raisonnement relatif aux règles de trois composées.

362. Si le placement ne s’effectue pas pendant un nombre entier d'années, testune fraction. Un cas très fréquent est celui où le temps est donné en jours. On regarde alors l’année comme ayant 360 jours ; { sera donc donné par une fraction dont le dénominateur sera 360 et le numérateur le nombre n de jours pendant lesquels l'argent a été prêté, en sorte que la formule fondamentale devient

ñn a ue

on pourrait aussi bien l'écrire G—A ET et l'on observera

que = est précisément la somme rapportée par un franc pendant un jour, c'est le taux quand on prend le jour pour unité de temps, et alors le temps du prêt est mesuré par le nombre n. La formule ainsi écrite ne diffère donc de la formule générale que par le sens nouveau qu'y prennent les facteurs du second nombre. On verra de même la modification qu’il convient de lui faire subir quand on prend la semaine pour unité de temps : on regarde alors l'année comme comprenant exactement 52 semaines. C’est le mode employé dans les Caisses d'épargne, où l’on ne tient compte, d'ailleurs, pour le calcul des intérêts, que du nombre entier de semaines pendant lesquelles l'argent a été placé.

304 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.. ! | 363. Dans les ns de banque, on a à appliquer très Eques

ment la formule &« — Te ; on a recours, pour effectuer les calculs, à

quelques artifices qui ne sont pas sans intérêt. Observons que, dans une suite d'opérations de même nature, ce sont les nombres A et qui changent, le taux de l'intérêt reste le même ; supposons que ce

y taux r soit donné sous la forme T0 en d’autres termes, l'argent

est placé au taux r’°/,. On pourra écrire, en remplaçant r par 700 ” re PL OA RE FT 36000 © — =)

Fr

le nombre su s'appelle le diviseur relatif au taux »'; dés=

enons-le par d; on aura An

= 7 on obtiendra l'intérêt en divisant par d le produit.An. Dans la pratique, le nombre r' a souvent l’une des valeurs A: 4,8: 095 095; 9,0 RES

auxquelles correspondent les diviseurs

qui sont tous des nombres entiers. La division par l’un quelconque de ces nombres, surtout par ceux qui correspondent aux taux 3,6: 4: 4,5 ; 6, sera, comme on le voit, extrêmement facile.

On observera, sur la formule générale, que le diviseur est le

nombre de jours pendant lesquels il faudrait placer un capital pour

que l'intérêt fût égal à ce capital; cette formule, si l’on y suppose

n— d, donne, en effet, a— A. On voit de même qu'un capital égal

au diviseur produit un franc d'intérêt par jour.

364. Compte courant. — On dit qu’un négociant a un compte courant chez un banquier lorsqu'il dépose des capitaux chez ce banquier, qui, de son côté, remet de l’argent au négociant, ou effectue

des paiements pour son compte. Ces sommes portent d'ailleurs inté-

rèt à un taux convenu. Le bordereau est le détail des sommes versées par le négociant chez le banquier, ou payées par le banquier au compte du négociant, avec les dates des versements ou paiements.

Le règlement de compte s'effectue à des dates déterminées, dites

TS a 5 rs Ps = : 2 x > : CT SE £ à PRO EE à CP nd Ér NS die LAS PRE ET ET Ne A EP CRE PT

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époques.de clôture : c'est une opération dont le résultat est l'avoir

te Ro à NÉE ee M NE nv. A Û TÉPREN RE T MU? ssl re: 11

du négociant chez le banquier à une telle date. Considérons la période de temps qui s'écoule entre deux époques de clôture. Si l'argent ne portait point intérêt, l'argent du négociant, à chaque instant de cette période, et en particulier à la clôture, serait la différence entre la somme des capitaux versés par lui et la somme de ceux payés par le banquier : cette différence est ce qu’on appelle la balance des capitaux.

Supposons maintenant que l’argent porte intérêt, on subdivisera la période entre deux époques de clôture en périodes partielles, pendant chacune desquelles il n’a été fait ni versement ni paiement, imaginons qu'au début de chaque période partielle, c’est-à-dire d'une part après le dernier règlement, d'autre part après chaque versement ou paiement, on ait fait la balance des capitaux; on calculera l'intérêt qu'aurait produit pendant cette période partielle la somme représentée par cette balance; on fera le total de ces intérêts et ce total, ajouté à la balance des capitaux relative à l'époque de clôture, constituera lavoir du négociant chez le banquier à ce moment; son comple sera réglé.

Si l’on suppose que l'intervalle de temps entre deux règlements de compte successifs soit de N jours et que les périodes partielles pendant lesquelles il n’est fait ni versement ni paiement soient de Mi, M2, ..., Np JOUTS, On aura

N = 3 + Na +... + Np.

Pendant la première période partielle de n, jours, c’est la somme résultant du dernier règlement de compte qui porte intérêt: désignons-la par B;, désignons de même par B, la balance des capitaux au commencement de la seconde période partielle, après un versement ou un paiement, par B; la balance des capitaux au commencement de la troisième période, après que l’on a fait encore un versement ou un paiement, etc. si d est le diviseur relatif au taux de l'intérêt convenu, l'intérêt qu'il faudra ajouter à la balance finale des capitaux sera

NB: + NB2 +... + np Bp "

Les balances B,, B:, .…., B, se calculent immédiatement, par des additions ou soustractions, d’après le bordereau.

365. Méthode rétrograde. — On peut d’ailleurs éviter le calcul des balances en suivantune autre méthode, dite rétrograde ou indirecte. La règle qui résume cette méthode résulterait d’une transformation

facile de la formule précédente, transformation que j’omets à cause de son caractère un peu algébrique : cette règle peut être établie directement.

Pour rendre le langage plus uniforme, nous regarderons, dns la

formule précédemment établie, la première somme B, comme une somme versée par le négociant chezle banquier le jour du précédent règlement de compte, ou, si l’on veut, le jour de l'ouverture du compte.

Observons que l'intérêt produit, pendant un temps donné, par la somme de deux capitaux étant la somme des intérêts que produirait chacun de ces capitaux, l'intérêt produit par la différence entre deux capitaux devra de même être la différence entre les intérêts que produiraient séparément ces capitaux.

Observons aussi que chaque balance est une pareille différence entre les sommes versées par le négociant et celles payées par le banquier au compte du négociant. On voit dès lors qu’on obtiendra l'intérêt cherché en calculant d’une part l'intérêt produit, entre le jour du versement et l’époque de clôture, par chaque somme que

verse le négociant, d'autre part l'intérêt produit, entre le jour du

paiement et l'époque de clôture, par chaque somme que paie le banquier au compte du négociant, et en retranchant du total des premiers intérêts le total des seconds.

Ainsi, pour calculer l'intérêt cherché, on multipliera par le nom

de jours compris entre l’époque du versementet l’époque de clôture chaque somme versée par le négociant, et on fera le total P de ces produits ; on multipliera de même par le nombre de jours compris entre l'époque du paiement et l'époque de clôture chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant, on fera le total Q

de ces produits ; on fera la différence entre les totaux et l’on divisera «

la différence par le diviseur d relatif au taux de l'intérêt convenu. J'ai supposé, dans ce qui précède, que la balance des capitaux était à chaque instant en faveur du négociant. Les conventions peuvent être autres et le banquier peut prêter plus d’argent quil n’en reçoit. La règle précédente s'applique dans tous les cas, soit que la balance des capitaux ait toujours été en faveur de l’une ou de l’autre des deux parties, soit qu'elle ait été tantôt en faveur de l’une, tantôt en faveur de l’autre. Seulement la différence que l’on doit faire à la fin, si elle ne peut se faire dans le sens indiqué, se fera dans l’autre sens et représentera alors une somme due au banquier

par le négociant. La justification complète de cette règle, bien que.

facile, exigerait quelques développements que je préfère laisser de

côté ; elle est immédiate pour le lecteur en possession des règles de calcul relatives aux nombres négatifs.

La règle que l'on vient de décrire serait d’une application très facile si l’époque de clôture était déterminée à l'avance; chaque jour de versement ou de paiement, rien n'empêche de calculer la partie correspondante des nombres P ou Q. Les calculs étant ainsi

préparés, le calcul du nombre : Q se fera immédiatement, le

jour dela clôture. Mais il importe de pouvoir clore le compte le. jour que l’on veut ; aussi est-ce d’une façon un peu différente que l'on procède.

Désignons par P’ le total des produits obtenus respectivement en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du versement chaque somme versée par le négociant; désignons de même par Q' le total des produits obtenus respective- . ment en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du paiement chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant ; il est clair que la quantité

PO, PQ + PHP O0 d d D d d

représentera l'intérêt que produirait pendant les N jours écoulés:

entre l'ouverture et la clôture une somme égale à la balance

2H. par exemple, est l'intérêt,

pendant N jours, des sommes versées par le négociant : on a donc EE OPRRBON EPS

sm Er "SM Ni

finale B, des capitaux : en effet,

et c’est le second membre de cette égalité que l’on calcule, en ayant préparé à l'avance, chaque jour de versement ou de paiement, la partie correspondante du nombre P' ou Q'; le jour de clôture, on n'aura qu’à calculer le nombre B,N.

366. Chèques. — Ce qui précède s'applique aux comptes de chéques. Un particulier qui, par exemple, ne veut pas garder de grosses sommes chez lui dépose son argent chez un banquier, qui lui remet un carnet de chèques, c’est-à-dire un livre à souche contenant une série de feuilles qui peuvent en être détachées et dont chacune porte une formule telle que : Payez à à ordre ou au porteur la somme de . Paris, le

Si le particulier veut effectuer un paiement, au lieu de le faire en

monnaie, il détache une feuille (un chèque) du livre à souche et écrit en toutes lettres la somme qu’il veut payer, ainsi que la date du « jour. Le chèque doit être présenté chez le banquier dans un délai très court (cinq jours pour une même ville, huit jours s’il doit être * payé dans une place autre que celle où il a été émis). Il peut d'ail: leurs être négocié, remis à un tiers en paiement. La somme quil porte ne doit pas être supérieure à la provision chez le banquier de celui qui l'a émis, c’est-à-dire à la balance des capitaux relative au moment où ilest émis. Les intérêts des comptes de chèques sont ” ;

habituellement très faibles : ce sont des nombres tels que = 1, SEE 14

367. Escompte. — Escompier une somme payable à terme, c'est-: 4 à-dire à une date déterminée, dans l’avenir, c’est fournir immédiatement cette somme, diminuée d'une certaine quantité, qui.est ce qu’on appelle l'escomple de cette somme. Cette opération s'effectue … principalement sur les effets de commerce. Un effet de commerce est un engagement écrit par lequel un négociant promet de payer à une personne déterminée ou à son ordre, à une date fixe, une certaine somme, pour marchandises reçues. Cette somme est la valeur nomi- 4 nale de l'effet; la date à laquelle doit se faire le paiement est. 3 l'échéance. L'intérêt que porterait cette somme entre une date déter-. Fe. minée et l'échéance est l’escomple commercial; la valeur nominale ‘0 diminuée de l’escompte commercial est la valeur escompiée ou la 4 valeur au comptant de l'effet, à la date considérée. Le possesseur de É. l'effet peut, s’il veut se procurer du numéraire, se présenter avant l'échéance chez un banquier qui fait l'escompte. Le banquier lui 4 remet, en échange de l'effet dont il devient possesseur, la valeur au comptant de cet effet le jour où on le lui présente; le jour de. l'échéance il touchera la valeur nominale ; la différence sera son. bénéfice. Au lieu de présenter l'effet de commerce au banquier, son possesseur peut d’ailleurs le donner en paiement à un autre négo- . ciant, qui le reçoit pour une somme égale à la valeur au comptant, le jour de la transaction. Ajoutons enfin que, outre l’escompte, le banquier peut percevoir une commission, évaluée à tant pour cent

ê 4 1 Û à de la valeur nominale, par exemple & de ous de la valeur nomi- - 1

nale, et encore un change de place, évalué de la même façon, si la valeur nominale de l'effet doit être payée dans une autre ville que celle où il réside. En dehors de ces frais accessoires, le calcul de ‘à l'escompte commercial étant un simple calcul d'intérêt, 1l n'y a pas

lieu de nous y arrêter davantage. ;