La formule A’ = A (1 + r}* suppose que n est un nombre
entier; dans le cas où n seraitun nombre fractionnaire, somme d’un
nombre entier »m et d’une fraction P plus petite que un, il serait
naturel, d’après les suppositions précédentes, de regarder lan
somme À comme placée à intérêts composés pendant m années, au bout desquelles elle aurait acquis une valeur égale à
A(l<+r)r, | et de regarder ensuite cette dernière somme comme placée à intérêt
simple pendant le temps à : elle rapporterait alors un intérêt égal à
A +r}" . , en sorte que la valeur acquise par la somme A, au |
bout du temps m + P, évalué en années et fraction d'année, serait.
AM rm+ A + =a (+ À)
En réalité, ce n’est pas par cette formule que le calcul se fait, mais |
bien par la formule A'= A (1 +r)"+ = , laquelle n’a pas actuelle- . ment de signification, mais qui en acquerra une plus tard. Elle donne M des résultats un peu plus faibles. Je me bornerai ici au cas où le
nombre n est entier.
371. Le calcul de A’ quand on connaît À, r, n, ou de À quand on
connait A’, r, n, est assez pénible. Le lecteur familier avec l'usage
des logarithmes voit tout de suite la commodité qu'ils permettent dans les calculs. L'Annuaire du Bureau des Longitudes (!), les années
dont le millésime est impair, contient des tables qui donnent les valeurs de (1 + r}r et de TI pour les taux 0,005; 0,01 ; 0,015; 0,02; 0,025; 0,03; 0,035; 0,04; 0,045; 0,05; 0,055; 0,06 et pour les valeurs de n qui s'étendent de 1 à 100. Dans ces limites, le calcul de l’une des quantités A, A’ connaissant l’autre se fait, en utilisant ces tables, par une simple multiplication : il est aisé de voir qu’on peut s’en servir pour des valeurs de n supérieures à 100.
Pour une valeur de n comprise entre 100 et 200, on calculera la valeur du capital au bout de la première période de 100 ans ; en partant de cette nouvelle valeur, on pourra calculer celle qu’on cherche en se servant des tables etc.
Il est aisé d’ailleurs de reconnaître que la formule dont je parle est inapplicable lorsque x devient très grand : on trouvera, par exemple, dans l'Annuaire qu'un capital placé à intérêts composés, à 4 p. 100, est, au bout de 100 ans, multiplié par un nombre un peu plus grand que 50 ; au bout d'une seconde période de 100 ans, il aurait été multiplié une seconde fois par un nombre plus grand que 00, …; au bout de 1000 ans il aurait été multiplié par un nombre plus grand que
ou que 90 millions de milliards.
$ 4 — Partages proportionnels, Règles de société, d'alliage, de mélange.
372. Partages proportionnels. — On donne d’une part un nombre E d'autre part p nombres @,, @:, .…, Gp, on se propose de trouvet p nombres b;,, b,, .. b» proportionnels aux nombres @,, &, … Œp et dont la somme soit B.
Les nombres des deux ensembles
O1, 02, :..; On, is Anse p
1. Je signale cette publication parce qu’elle est très répandue : c’est en quelque sorte l'almanach de tous ceux qui ont une culture scientifique ; mais ceux qui s'occupent de grandes opérations financières ont besoin de tables plus étendues ; on les trouvera par exemple dans la Théorie des Intérêts composés et des Annuités de Fédor Taowan, dans la Théorie mathématique des Opérations financières de M. Cnarcon (Gauthier-Villars, édit.), dans les Mouvelles Tables d'Intérêts composés de M. Viruoux (Hermann et fils, édit.).
doivent être proportionnels ; il en est de même pour les deux en sembles bi bis a D BIO De dE a AE À A, O2, 2, Ap, di + 2 + + + Gp.
Tous les termes sont connus dans le second; dans le premier, on.
ne connaît que le dernier terme, qui est égal à B. D' ailleurs le rapport d’un terme de la première suite au terme correspondant de la seconde doit toujours être le même; on doit donc avoir
b, B di Re HD bi.
Da B
ee I UD 2 ++... +Ap
et par suite di GO
Le Œi + da +... +- D £ pes Bap
Ed.
Il convient de remarquer que les résultats resteraient les mêmes si l'on substituait aux nombres &, G2, .…., Gp, proportionnellement
auxquels le partage doit s'effectuer, d'Aitres nombres d', d'a, …., d'p
qui leur fussent proportionnels. Cela en effet reviendrait à uote par un même nombre tous les nombres &, d, …, ap, et, par conséquent, à multiplier par un même nombre les deux termes de chacune des fractions qui fournissent les expressions de b,, b:, …, D. Réciproquement, si l’on prend pour les nombres b;, b:, …, b les
valeurs précédentes, ces nombres s’obtenant en multipliant @;, da,
…, &p par un même nombre, à savoir B SARL AU 2 Gi ++... Gp
sont proportionnels à &1, &,., &p; d'autre part, leur somme est
Ba; + Ba; +... + Ba, va B(&i + @s +... + 4») M di ++... + Ap di + a+... + Gp <
Le
REGIS IEt7: d
