PÉTER

LR.

fr,

Ce sont donc bien les nombres cherchés.

Règle. — Pour partager un nombre en parties proportionnelles: à des nombres donnés, on multiplie par ces derniers nombres le

nombre que l’on veut partager, et l’on divise les produits par la

somme des nombres proportionnellement auxquels on veut faire. le partage.

Exemples. — Diviser 24 proportionnellement à 1, 2, 5 ; les résultats sont.

8 ee Pl SET

les nombres 3, 6, 15 sont proportionnels à 1, 2, 5; leur somme est 24. Diviser 32 proportionnellement à 2, 7, 8, 5: les résultats sont :

ces Fr Ph ie

373. Règles de société. — Ces règles ont pour but de déterminer le partage des bénéfices (ou des pertes) entre associés qui ont mis en commun des capitaux dans une affaire.

La règle de société est simple si les associés ont placé leurs Capitaux pendant le même temps. Alors on partage le bénéfice proporüonnellement à ces capitaux.

La règle de société est composée si les associés ont placé leurs capitaux pendant des temps différents. On partage alors le bénéfice proportionnellement aux produits obtenus en mulüpliant la mise de chaque associé par le temps pendant lequel il a coopéré à l'affaire.

La seconde règle contient, comme cas particulier, la première; il suffira de la justifier.

Supposons, par exemple, qu'il y ait trois associés dont les mises soient respectivement A;, A:, A;, et que ces capitaux aient été engagés dans l'affaire pendant des temps n;, #2, ns. Désignons enfin par B l'intérêt à partager. Nous supposerons que les nombres A,, A, A: M; Ma, 3 Soient entiers ; on réalisera cette condition en subdivisant s'il le faut l'unité de monnaie et celle de temps. Pour fixer le langage, nous Supposerons que la première soit le franc, la seconde le jour. Nous admettrons que chaque franc, pendant un jour, produit la même parcelle de bénéfice. |

Désignons cette parcelle de bénéfice par b ; A, francs engagés pendant un jour produiraient une part de bénéfice égale à A, b, la même somme engagée pendant n, jours produirait une part de bénéfice égale à A1n,b; de même, A,, A; francs placés pendant #, ns jours

produiraient des parts de bénéfice égales à A:n,b, Asn,b ; On voit que

les parts des associés sont proportionnelles à Am, A,m, Asns; © est ce qu'il fallait établir. Ce résultat est indépendant des unités choisies, soit pour la monnaie, soit pour le temps, car la modification de ces unités ne fait que multiplier les nombres An, A2,Mm, Asns par un. même nombre, c’est-à-dire ne fait que remplacer ces nombres par des nombres proportionnels. Les parts des associés seront respectivement BA;n:

Ain + A2 + Ass ; BA:

Alu + Ale + Ass ; BA3sn:

Au + A2 + Ass

Il pourrait se faire qu’un associé engageät à des époques successives plusieurs capitaux. On le remplacerait par autant d'associés fictifs qu'il a engagé de capitaux, et on lui attribuerait comme part la somme des parts qui reviendraient à chacun des associés fictiis.

374. Mélanges et alliages ; valeur moyenne; titre moyen. — On a des volumes de vins, As, A, …., A», de qualités différentes; les prix de l'unité de volume sont respectivement m1, M, …; np. On les mélange ensemble; quel sera le prix de l'unité de volume du mélange? |

Divers morceaux d’alliages contenant le même métal précieux ont des poids représentés par les nombres A, A, ..…., AY et des titres représentés parles nombres »,, nm, …,n?. On fond tous ces morceaux en un seul alliage; quel sera son titre ?

Les deux problèmes sont au fond identiques.

1° Rappelons que le prix d’un certain volume de vin s'obtient en multipliant le nombre qui exprime le volume de ce vin par le nombre qui exprime le prix de l'unité de volume. Inversement, le prix de l'unité de volume, pour-un vin dont un volume donné coûte un prix donné, s'obtient en divisantle second nombre, celui qui exprime le prix, par le premier, celui qui exprime le volume.

Les prix des volumes A;, A:, …, A7 seront donc respectivement Aulu, As, ce. App; le prix de ni le vin mélangé sera donc Ain LE Am + … + Apnr ; comme le volume du mélange est mesuré par le nombre A; + À: +... + A», le prix de l'unité de volume sera donné par le nombre

An, —+- An nr rar) Aplp .

N— Abu

Ge nombre N peut s'obtenir en divisant par la somme de leurs dénominateurs la somme des numérateurs des fractions

Au A Apñp TOITS

qui sont respectivement égales à n., Me, .…., Np; N est donc compris entre le plus petit et le plus grand des nombres »,, mn, …, np (n°188, p. 212).

2° De même, le poids d’un métal précieux, de fin, contenu dans un alliage s’obtient en multipliant le titre de cet alliage par le nombre qui mesure le poids du morceau d’alliage. Le poids de fin contenu dans les morceaux dont les poids sont respectivement mesurés par les nombres A, A,, .…., A, seront respectivement Ain, A:,N, ..…, Apñ?. Le poids de fin contenu dans l'alliage final sera mesuré par le nombre Ain; + Ain: + ….…. + An»; le poids du morceau de cet alliage sera A, + A; + ... AÀ,; son titre sera donc

3 N— vu Ame +. Ann.

cest, si l'on veut, le titre moyen. Ici encore, le titre moyen ne change pas si l'on remplace les nombres A,, A,, A» par des nombres qui leur soient proportionnels.

379. Dans le cas où l’on ne mélange que deux espèces de liquides, où l’on ne fond ensemble que deux morceaux d'’alliages différents, le prix par unité de volume du mélange, ou le titre de l'alliage

résultant, est donné par la formule

: Ne Ain + An A1 + A:

(A; + A2) N= Ain + An,

en désignant toujours par A;, A; les nombres qui mesurent le volume des liquides que l’on mélange, ou le poids des morceaux d’alliages que l’on fond ensemble, et par n,, n,, les prix par unité de volume de ces liquides, ou les titres de ces alliages. N est le prix par unité de volume, ou le titre, du mélange, ou de l’alliage résultant. Cette formule conduit à quelques conclusions intéressantes, qui seront utilisées plus tard.

Si l'on a n, — m, il est clair que l’on a aussi N = n, = n., et ce résultat était évident a priori.

Si où a M <M, on a M<N<N; comme on vient de le voir. Il est alors aisé de tirer de la relation x #1

ANA N— An + A2, la formule N — ni À»

No — N a A;

qui exprime que les différences entre le prix, par unité de volume, du mélange et le prix, par unité de volume, de chacun des liquides qui constituent ce mélange sont inversement proportionnelles aux. volumes de ces liquides : de même les différences entre le titre de l'alliage résultant et le titre de chacun des alliages composants sont inversement proportionnelles aux poids de ces derniers alliages.

376. La relation à laquelle on vient d'arriver peut recevoir une interprétation concrète, qui permet de l’établir a priori. Plaçonspous dans le cas des mélanges : supposons que les nombres A:, À: soient entiers, que l'unité de volume soit le litre et, pour rendre l'interprétation plus claire, imaginons que le mélange soit fait par, un marchand de vin qui a acheté A, litres de vin à m fr., A: litres de vin à m fr. et qui veut vendre le mélange au prix coûtant. Conti- … nuons de désigner par N le prix coûtant d’un litre du mélange : si le marchand vend tout le mélange à N fr. le litre, il gagnera par litre de !a première qualité une somme égale à N— m;, soit, en Lout, (N—n,)A,, et il perdra par litre de la seconde qualité une somme égale à n —N, soit, en tout, (n: — N)A: ; s'il veut que sa perte et son bénéfice se compensent, il faut donc que l’on ait

(N Er ru) Ai == (n2 — N)A2.

Cette remarque donne l'explication des règles dites de mélange ou d'alliage.

Dans ces problèmes, qui concernent le mélange de deux espèces … de liquides, ou le titre de l’alliage résultant de la fonte de deux alliages, on se donne habituellement le prix du mélange par unité de volume, ou le titre de l’alliage résultant ; on connaît d’ailleurs le prix par unité de volume, ou le titre des éléments composants. On peut se donner la quantité (volume ou poids) du mélange ou de l’alliage résultant, et chercher alors les quantités des éléments composants ; on pourra aussi donner l’une de ces dernières quantités et … chercher l’autre, ainsi que le volume du mélange ou le poids de l'alliage résultant. È

En d’autres termes, en conservant les mêmes notations, on connaît

er. PARTAGES PROPORTIONNELS. 407

les nombres »,, %, N et le nombre A, +A,—B et l’on veut avoir A, et À,; ou bien encore on connaît "1, #%, N et l’un des nombres * A,, A, et on veut avoir l’autre et la somme des deux.

| Le premier problème revient à partager le nombre B en parties

inversement proportionnelles à N — 7, #2 —N, ou, ce qui revient au même, en parties directement proportionnelles à n—N, N — »,: ces parties seront :

B(n: —N) B(m—N) (NN) HIN— 7m) — N—M ?

B(N— n;) B(N—")) (Na—N)+N— m0) mm

Le second problème revient à calculer un terme d’une proportion dont on connaît trois termes.

Exemples. — 1° On a du vin à f. 0,50 le litre, du vin à f. 0,75 le litre : quelle quantité devra-t-on prendre de chacun pour avoir 200 litres de vin à f. 0,60 le litre ?

Prenons le centime pour unité de monnaie. On devra partager 200 en parties inversement proportionnelles aux deux nombres 60 — 50 — 10 et 75 — 60 — 15, ou en parties directement proportionnelles aux nombres 13 et 10 ; ces parties seront

200 x 15 200 % 10 M A ST UE

ainsi on devra prendre 120-litres de vin à f. 0,50 le litre et 80 litres de vin à f. 0,75.

2° On a 1000 grammes d'argent pur et un lingot d'argent au titre de 0,835. Quel poids devra-t-on fondre de ce lingot avec les 1000 grammes d'argent pur, pour avoir un alliage au titre de 0,900 ?

Le titre de l’argent pur doit être regardé comme égal à 1 ; les différences des titres sont respectivement 0,900 — 0,835 — 0,065 et 1 — 0,900 — 0,100; les poids d'alliages employés doivent être inversement proportionnels à ces nombres, ou aux nombres 65, 100 ; on doit donc avoir, en désignant par x le nombre qui mesure le poids du lingot d'argent à 0,835 qu’il faut prendre

d'où PA 100000 __ 20000 RCA DRE

I faut donc prendre environ g. 4538,5 du lingot à 0,835 et l’on aura un lingot à 0,900 pesant g. 2538,5.

Dans les problèmes de cette sorte, on dispose souvent les calculs comme

il suit : sur une ligne horizontale on place (en supposant qu'il s'agisse d’alliages) les nombres qui représentent les titres n,, n, des alliages donnés; puis entre ces deux nombres, un peu au-dessous, le titre N de l’alliage que l'on veut obtenir; sur une seconde ligne horizontale, les différences N—n,;n,— N, de façon que chacune soit sur le prolongement de la ligne oblique qui contient les deux nombres dont elle est la différence ; c'est Ce ce qu'on appelle faire les différences en croix : les poids des deux alliages que l’on emploie doivent être directement proportionnels à ces différences, en faisant correspondre chacune à l’alliage dont le titre est au-dessus d'elle. La disposition décrite est figurée ci-dessous :

£ A " N nm — N N—1,

Les poids n, —N, N—n, d'alliages aux titres n, et n, fournissent un alliage au titre N ; il en sera de même de poids proportionnels. De même

pour les mélanges.

Dans les deux exemples traités, on aurait les dispositions qui suivent :

Dans le premier cas, on a à partager 200 proportionnellement à 0,15 et 0,10, ce qui donne 120 et 80 ; dans le second, on a à déterminer x par la proportion :

Lio 00STQ0 1000 0,068 ?

& 5. — Rentes perpétuelles.

377. Emprunts. Rentes. — C'est l'impôt qui fournit à l'État les sommes nécessaires pour doter normalement les différents services ; des circonstances peuvent se produire où il a besoin de capitaux considérables que l'impôt ne peut lui fournir immédiatement ; alors, il emprunte. Il emprunte, en fait, sous différentes formes ; nous ne nous occuperons ici que de l’une de ces formes, l'émission de rentes perpétuelles.

En 1879, par exemple, l'État français a fait un emprunt de 3 milliards de francs. Cet emprunt a été fait en rentes 3°/, au cours de f. 84,50. Cela veut dire que, en échange de f. 84,50 donnés le jour de l'émission, l'État garantissait à celui qui lui apportait cette somme une rente de 3 francs par an. :